本文半原創
參考資料：其實就是照抄的什么參考啊
我們知道KMP可以用來在線性復雜度內進行制胡竄匹配
今天教您一種新方法：用FFT進行字符串匹配
您可能覺得這很玄學，FFT不是做多項式卷積的嗎，怎么還可以做制胡竄匹配
您先別着急，請接着聽
我們設兩個字符串--模式串\(a\)，長度為\(m\)，文本串\(b\)，長度為\(n\)。設下標為從0開始
定義函數\(a(i)\)返回a串位置i的字符，\(b(i)\)返回b串位置i的字符（其實就是下標）
定義匹配函數\(c(x,y)=a(x)-b(y)\)，代表a串x位置和b串y位置是否匹配(也就是是否相同)
如果匹配，那么\(c(x,y)=0\)對吧
然后我們再定義完全匹配函數\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}c(i,x-m+i+1)\)，若\(P(x)=0\)，則稱B以第\(x\)位結束的連續\(m\)位與A完全匹配
但是這個匹配函數是有問題的
他會導致字符串"ab"和字符串"ba"匹配，你想想是不是，一個-1一個1，加起來就是0嘍
所以我們稍微改一下匹配函數：\(c(x,y)=(a(x)-b(y))^2\)，保證\(c(x,y)\ge 0\)，這樣是不是就沒問題了啊
所以我們的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(a(i)-b(x-m+i+1))^2\)
您還沒有看出什么玄機來
我們可以把\(a\)串翻轉，設翻轉后的串為\(s\)，則滿足\(a(i)=s(m-i-1)\)對吧，下標是從0開始的
所以我們的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s(m-i-1)-b(x-m+i+1))^2\)
繼續觀察！發現什么了？？？要不我們換一下元，用\(i\)替換\(m-i+1\)，注意其中\(i\)的范圍由\([0,m-1]\)變換到了\([0,m-1]\)你直接說沒有變不就得了
所以我們的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s(i)-b(x-i))^2\)
要不我們把完全平方展開下
所以我們的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s^2(i)-2s(i)b(x-i)+b^2(x-i))\)
拆一下sigma
所以我們的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}s^2(i)+\sum_{i=0}^{m-1}b^2(x-i)-2\sum_{i=0}^{m-1}s(i)b(x-i)\)
這式子是不是不錯啊
第一項是個定值，可以直接算出啦
第二項，由於加的是一段區間，可以O(n)預處理前綴和
第三項！！！這是什么？不就是我們的卷積嗎
FFT即可
時間復雜度O(nlogn)
誒對了
到了這里您可能會發現這個時間復雜度都沒KMP優秀
您可能會問我這個算法有個吊毛用啊，FFT還沒KMP好寫(FFT其實也挺好寫的)
別急聽我接着講
如果我們的字符串里有通配符呢
就是說這個通配符跟什么字符匹配都行（注意是字符而不是字符串）
您會發現KMP就GG了
然后我們繼續考慮FFT做法
這次我們強制令通配符的ascii為0
定義我們的匹配函數\(c(x,y)=(a(x)-b(y))^2a(x)b(y)\)，那么是不是對於有通配符的都能保證\(c=0\)了呢
然后就是推一波式子的事情了
大家可以試着推推
行了下面是結果
所以我們的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s^3(i)b(x-i)-2s^2(i)b^2(x-i)+s(i)b^3(x-i))\)
我們對\(s,s^2,s^3,b,b^2,b^3\)進行FFT，然后再DFT回來就行啦
有了這個算法之后不就是板子題啦
這題可以用SAM做，@顧z
好像還可以用哈希做。。。還是@顧z
溫馨提示：根據生物學知識，人類DNA上的鹼基只有四種
大家可以想一想正解
我們對ATCG貢獻分開算，這里的貢獻指的是不匹配的字符數
假設我們當前強行只計算模式串中A對於匹配串的貢獻
先把模式串翻轉一下
那么我們把模式串的A當做1，T C G都當做0，把文本串的A當做0，T C G都當做1
然后直接讓模式串和文本串卷積（數字很小，可以用NTT優化卷積）
累加的貢獻就是A與TCG不匹配的
最后把所有<=3的位置統計即為答案
總結：
這種帶通配符/不匹配的字符串題我們一般是構造關於字符串的函數，對某個字符串翻轉，然后進行卷積再各種處理。
這種題只是FFT的一種應用。