前言
首先看一下這個題目，是Leetcode的第887題"雞蛋掉落":
你將獲得 `K` 個雞蛋，並可以使用一棟從 `1` 到 `N` 共有 `N` 層樓的建築。
每個蛋的功能都是一樣的，如果一個蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在樓層 `F` ，滿足 `0 <= F <= N` 任何從高於 `F` 的樓層落下的雞蛋都會碎，從 `F` 樓層或比它低的樓層落下的雞蛋都不會破。
每次*移動*，你可以取一個雞蛋（如果你有完整的雞蛋）並把它從任一樓層 `X` 扔下（滿足 `1 <= X <= N`）。
你的目標是**確切地**知道 `F` 的值是多少。
無論 `F` 的初始值如何，你確定 `F` 的值的最小移動次數是多少？
分析
這道題曾經是作為Google面試的一道題目，不過當時問的是:一幢 200 層的大樓，給你兩個雞蛋。如果在第 n 層扔下雞蛋，雞蛋不碎，那么從第 n-1 層扔雞蛋，都不碎。這兩只雞蛋一模一樣，不碎的話可以扔無數次。最高從哪層樓扔下時雞蛋不會碎？
因為有兩個雞蛋，所以我們可以考慮粗調和細調，即通過第一個雞蛋的試錯來縮小答案的范圍。比如第一個雞蛋在k層碎了，那么我們就可以確定臨界樓層是\([1，k)\)之間；所以我們首先考慮的應該就是第一個雞蛋應該在哪里扔。
假設第一個雞蛋的樓層策略是\(k_{1}，k_{2},k_{3}....k_{p}\)，其中p是扔的總次數，樓高為N
第二個雞蛋肯定是在\(k_{i}\)之間進行遍歷，所以優化這個問題就是求一個策略組合使得p的值最小。舉個例子，如果我們用二分法，選了k1=50扔，沒有碎，好的我們進入下一個狀態，取k2=75，仍然沒有碎，進入下一個狀態k3=90，碎了，說明臨界不碎樓層是在\([76，89]\)之間的，我們總共實驗了3+14=17次。我們這里選用二分法的k1、k2、k3就是一種可選的策略，換成其他的也可以，但是要使這個策略的p盡量的小就是我們的目標。
所以我們再仔細觀察一下上圖，發現小圓圈其實都是第二個雞蛋遍歷的過程，都是O(n)，所以可以等價為一個操作，這個圖實際上也就是一個樹形結構:
如果這個樹類似下面的結構的話，我們可以得到最優解:
我們的樹結構最好滿足的關系為:
我們來解析一下第一個式子:\(k_{1}=k_{2}-k_{1}+1\),這是因為\(k_{1}-1=(k_{2}-k_{1}-1)+1\),加1是因為k2這個節點。要滿足每棵子樹的樹高相等，\(k_{p}\)必須是一個遞減等差數列。所以我們可以令\(k_{p}\sim N\)，所以就有\(\frac{k_{1}(k_{1}+1)}{2}=N\)
回到Google這道面試題上來的話，就是\(\frac{x()(x+1)}{2}=200\),解得\(x=14\)，所以扔蛋的一種策略為14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，一共需要嘗試11+(13+12+11+10+9+8+7+6+5+4)/10=11+8.5 -->=20次。
然后再回到Leetcode這道題上來，這道題用動態規划來做可能更加簡便，當然用我們剛才分析這道題的樹形結構來分析也是可以的。
動態規划
首先的先暫時拋開我們剛才樹形結構的分析，這里先不討論粗調與細調的概念，就是一個線性結構:
思路1：
我們需要求一個最優決策使得扔的次數最小，雖然實際扔的次數會隨着真實結果而變化，但是k個雞蛋來測N層可以借助於k-1個雞蛋測N層的結果。
我們用dp[n][k]表示k個雞蛋測n層的扔的次數。如果i層的時候雞蛋碎了，剩下來的k-1個雞蛋用來測i-1層，也就是dp[n][k]=dp[i-1][k-1]+1；如果i層的時候雞蛋沒有碎，那么剩下來的k個雞蛋用來測n-i個樓層。所以，在第i層扔，會用 max(dp[i-1][k-1], dp[n-i][k]) + 1 ，即$$dp[n][k] = min(max(dp[i-1][k-1], dp[n-i][k]) + 1 ) (1 <= i <= n)$$
思路2：
我們可以改變一下求解的思路，求k個雞蛋在m步內可以測出多少層：
假設: dp[k][m] 表示k個雞蛋在m步內最多能測出的層數。
那么，問題可以轉化為當 k <= K 時，找一個最小的m，使得dp[k][m]<= N。
我們來考慮下求解dp[k][m]的策略：
假設我們有k個雞蛋第m步時，在第X層扔雞蛋。這時候，會有兩種結果，雞蛋碎了，或者沒碎。
如果雞蛋沒碎，我們接下來會在更高的樓層扔，最多能確定 X + dp[k][m-1] 層的結果；
如果雞蛋碎了，我們接下來會在更低的樓層扔，最多能確定 Y + dp[k-1][m-1] 層的結果 (假設在第X層上還有Y層)。
因此，這次扔雞蛋，我們最多能測出 dp[k-1][m-1] (摔碎時能確定的層數) + dp[k][m-1] (沒摔碎時能確定的層數) + 1 (本層) 層的結果。
另外，我們知道一個雞蛋一次只能測一層，沒有雞蛋一層都不能測出來。
因此我們可以列出完整的遞推式:
dp[k][0] = 0
dp[1][m] = m (m > 0)
dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + dp[k][m-1] + 1 (k > 0, m>0)
先給出代碼:
class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
if(K==0) return 0;
if(K==1) return N;
int dp[N+2][K+2];
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0]=0;
for(int i=1;i<=N;++i)
{
dp[i][0]=0;
for(int j=1;j<=K;++j)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]+1;
if(dp[i][j]>=N)
return i;
}
}
return N;
}
};
樹形結構
我們仍然可以從樹形結構的角度去想，即盡量的把雞蛋的數量往2上面去接近，扔一個雞蛋數量就少一個；而這個思路其實是和動態規划思路1是一致的。
在知乎上也有關於這道題的討論，見這里