牛頓是近代科學的先驅，智商290，碾壓無數學霸，一個蘋果都能砸出萬有引力定律。
在力學上，牛頓闡明了動量和角動量守恆的原理，提出牛頓三大運動定律，它們和萬有引力定律奠定了此后三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為無數中學生的噩夢。牛頓他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循着相同的自然定律；為太陽中心說提供了強有力的理論支持，並推動了科學革命。
在天文學上，牛頓創制了反射望遠鏡。他還用萬有引力原理說明潮汐的各種現象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有關，而且同太陽的方位有關。牛頓預言地球不是正球體。
在哲學上，牛頓的哲學思想基本屬於自發的唯物主義，他承認時間、空間的客觀存在。如同歷史上一切偉大人物一樣，牛頓雖然對人類作出了巨大的貢獻，但他也不能不受時代的限制。例如，他把時間、空間看作是同運動着的物質相脫離的東西，提出了所謂絕對時間和絕對空間的概念；他對那些暫時無法解釋的自然現象歸結為上帝的安排，提出一切行星都是在某種外來的“第一推動力”作用下才開始運動的說法。
在經濟學上，牛頓提出金本位制度。這是一種以黃金為本位幣的貨幣制度，當不同國家使用金本位時，國家之間的匯率由它們各自貨幣的含金量之比——金平價來決定。
在數學上，我們已經見識過牛頓的微積分，他與萊布尼茨共同分享了微積分學的榮譽，盡管哥倆為誰的功勞大掐過架。
此外，牛頓還提出了著名的牛頓法（Newton's method）也叫牛頓迭代法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解值的方法。
牛頓法
先來看如何用牛頓迭代法求解5的平方根。
首先令f(x)= x2 – 5，這是標准步驟，取得一個新函數；再令該函數為0，這樣原問題就可以看作是解方程x2 – 5 = 0。f(x)是一個拋物線：
拋物線與x軸正方向的交點x就是方程的解，它比2稍大一點。
現在在x = 2的點(2, -1)處對f(x)做切線，切線方程是y = kx + b，斜率k是f(x)在x = 2處的導數：
將(2, -1)代入切線后得到截距b= -9：
設f(x)與x軸正半軸的交點是x，切點是x0，切線與x軸的交點是x1，x1在x的右側：
由於x1貼近x，所以只要求得x1就能近似地求出x。求解x1的方法之一是找出過x0的切線，之后計算切線與x軸的交點。設切線的斜率是k，根據斜率的公式：
過x0的切線的斜率正式f(x)在x0處導數的定義，因此：
這樣一來就找到了x的近似解x1。然而x1還沒達到標准，我們還想更貼近真實值一點，這次選取更進接近x的(x1, f(x1))做切點，新切點的切線與x軸的交點x2將比原來的x1更貼近x：
計算器上計算根號5的結果是2.236067，x2的值已經相當接近。
重復上面步驟，每一次迭代的結果都將更接近真實值：
這就是牛頓迭代法的公式。
牛頓法的注意事項
牛頓迭代法幾乎可以求解所有方程，但它仍然有一些限制。
在使用牛頓迭代法時，需要選取x0作為迭代基數，x0如何選取呢？一句參考是：x0要在x附近，它是一個較為解接近真實解的值，這要憑經驗和感覺了，沒有什么太好的辦法。
實際上，如果x0和x的差距過大，可能會得到一個沒譜的解。以計算5的平方根為例，如果選擇x0= -2，結果將偏向於-2.236067；如果選擇x0=0，則f’(0)=0，沒法繼續迭代：
設第n次迭代的誤差是En=|x-xn|，那么需要滿足En+1<En。如果選擇和計算都正確，誤差縮小的速度將非常快。
從泰勒公式看牛頓法
泰勒展開式是一種計算近似值的方法，是一個用函數某點的信息描述在該點附近取值的公式，這就與牛頓法有些相似了。
把f(x)在x0的某鄰域內展開成泰勒級數：
進一步得到：
反復迭代就得到了牛頓法的公式：
解方程2cosx = 3x
先作圖，畫出y = 2cosx和y = 3x的曲線：
兩條曲線相交於一點，方程存在唯一解。根據牛頓法，先設置f(x)：
兩條曲線交點的位置似乎是π/6附近，所以選擇π/6作為x0，根據牛頓迭代法：
第二次迭代與第一次迭代的差距已經非常微小，可以說x2就是最終的近似解。
求平方根
在一次code review會議上，一個同事展示了一段他不理解的C++代碼：
1 const float EPS = 0.00001; 2 3 doublesqrt(doublex){ 4 if(x == 0) 5 return 0; 6 7 double result = x; 8 double lastValue; 9 do{ 10 lastValue = result; 11 result = result/2.0f + x/2.0f/result; 12 }while(abs(result - lastValue) > EPS); 13 14 return result; 15 }
sqrt函數是求平方根，並且運行的很好，雖然展示者能夠看懂每一行代碼，但不知道為什么要這么寫，不明白那個神奇的2.0是什么意思。
現在看起來，不懂數學都沒法快樂地閱讀代碼了。這段代碼其實是在使用牛頓法計算平方根，過程是這樣的：
如果改成計算機程序的寫法：
現在可以和第9行代碼對應上了。
作者：我是8位的
