游戲簡介
Chomp是一個雙人游戲，有m x n塊曲奇餅排成一個矩形格狀，稱作棋盤。
----兩個玩家輪流自選一塊還剩下的曲奇餅，而且還要把它右邊和下邊所有的曲奇餅都取走（如果存在）
----先吃到左上角(1,1)那塊曲奇餅的玩家為失敗
如圖所示
------紅方選擇(3,3)--->
------藍方選擇(1,4)---->
----紅方選擇(1,2)--->
-----藍方選擇(2,1)-->
------------>紅方玩家只能選左上角那一塊，失敗
分析
首先介紹一個重要定理——策梅洛定理(Zermelo)
策梅洛定理,表明在二人參與的游戲/博弈中，如果滿足：
--------游戲的步驟數有限 --------信息完備(二人都了解游戲規則，了解游戲曾經所發生過的信息) --------不會產生平局 --------確定性(游戲中不會加入隨機因素) 則先行一方有必勝策略，或者后行一方有必勝策略。
下面證明：除去 1 x 1大小的棋盤外，其他大小的棋盤，先手存在必勝策略。
證明：（反證法）
假設棋盤規模為m x n。
首先，游戲不可能產生平局。
其次，由於每一步移動至少吃掉1塊曲奇餅干，因此不超過 mn 步后游戲必定結束。
由策梅洛定理，這個確定性二人有限游戲信息完備，且不存在平局，則或者先行一方有必勝策略，或者后行一方有必勝策略。
如果后手有必勝策略，使得無論先手第一次取哪個石子，后手都能獲得最后的勝利。
那么現在假設先手取最右下角的石子(m,n) ，接下來后手可以取某塊曲奇(a,b) 使得自己進入必勝的局面。
事實上，先手在第一次取的時候就可以取曲奇 (a,b) ，之后完全模仿后手的必勝步驟，迫使后手失敗。
於是產生矛盾。因此不存在后手必勝策略，先手存在必勝策略。
注意：這個證明是非構造性存在性證明，也即只是證明了先手必勝策略的存在性，但沒有構造出具體必勝策略。而且目前還沒有人給出Chomp一般性的必勝策略。
其中一些簡單的情況，可以找到必勝策略：
1、棋盤只有一行，但多於一格
-------先手拿去除左上角的全部即可
2、棋盤是正方形，但多於一格
-------先手選取(2,2),之后無論后手做什么，先手只要模仿即可（即關於對角線對稱選取）
3、棋盤只有兩行
------先手取第二行最后一個，之后無論后手選什么，先手總能采取合適的選擇，使得第一行比第二行多一個
類似問題
1、三維Chomp游戲
將曲奇排成 P x Q x R 的立方體，兩個玩家輪流自選吃掉一塊剩下的曲奇餅，若取走的曲奇餅為 (i,j,k) ，則也要取走所有滿足 i ≤ a ≤ P，j ≤ b ≤ Q ， k ≤ c ≤ R 的曲奇餅(a,b,c)（如果存在）。
可以類似地將Chomp游戲擴展到任意維，並可以類似地證明，先手都存在必勝策略。
2、有限偏序集上的Chomp游戲
Chomp游戲可以推廣到在任意一個存在最小元 a 的有限偏序集(S,≤)上：兩名游戲者輪流選擇S中的元素 x ，移走 x 以及所有 S 中比 x 大的元素。失敗者是被迫選擇最小元 a 的玩家。
如果 (S,≤) 有最大元素 b ，那么在偏序集上的Chomp游戲存在一個獲勝策略.
3、約數游戲
給定一個大於1的自然數 N ，兩個游戲參與者輪流選擇N的大於1的正約數，但不可選擇之前被選擇過的因子的倍數（例如 N = 72，有一方之前選擇了4，則之后任一方都不可以再選擇36）
4、刪數游戲
給定整數集合 {1,2,...n} ，兩個人輪流從中選擇一個數字，並將它和它的約數從集合中刪除，刪除最后一個數的人獲勝。
以上幾個游戲，類似Chomp游戲，得到結論就是無論 n 是幾，都是先手必勝。
轉載自：Liu言雜記
參考鏈接：中國大學mooc 離散數學 劉鐸