有一種很有意思的游戲，就是有物體若干堆，可以是石子或是圍棋子等等均可。兩個人輪流從堆中取物體若干，規定最后取光物體者取勝。取石子游戲是我國民間流傳已久的一種博奕，在國外亦稱Nim游戲。別看這游戲極其簡單，卻蘊含着深刻的道理。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝。
游戲Ⅰ 有若干堆任意數目的小石子{a1，a2，…，am}(m≥1)，兩人輪流取石子，每人每次可以從其中任意一堆中取，每次可以取1、2、3、……或k(1≤k≤ min{a1，a2，…，am})顆石子，把石子取完的人為勝者。
采用符號{a1，a2，…，am；k}來代表游戲Ⅰ中小石子的初始狀況和限制條件，一個人取一次石子實際上就是把{a1，a2，…，am；k}中某個分量ai(1≤i≤m)減小為ai′，即{a1，a2，…，ai，…，am；k}—→{a1，a2，…，ai′，…，am；k}(0≤ai<ai)，我們把這種取一次石子使數組發生的變換稱為T變換，根據現成博奕論先驅馮·諾伊曼(VonNeumann)的“完全確定信息游戲必定存在一種確定的獲勝策略”的經典理論，要么對先取者存在某種取法，即某個T變換，無論后取者如何取，先取者總有相應對策，直至最終取得勝利；要么無論先取者如何取，后取者可以找到某種T變換，保證后取者總有相應策略獲勝。為了解決游戲{a1，a2，…，am；k}的對策，我們先看一個簡單的例子。
例1 桌上放着一堆小石子一共100顆，兩人(甲、乙)輪流取，每次可以取1至10顆，取完的人為勝者，怎樣才能取勝？
分析這個問題實際上是取石子游戲的特殊情形{100；10}，我們利用倒推法：容易看出11是取勝的關鍵數學，因為到此時，不論對方(甲)取多少顆(大於0且小於11)，總留下大於0且小於11顆石子，這樣乙方一次取完即獲得勝利。同樣地分析，要取到11必須取到22，33，44，55，66，77，88，99，這樣我們就知道了獲勝之道：
①先取1顆石子，留下99顆，然后對方取a(1≤a≤10)顆，己方取(11—a)顆，就總能掌握這種致勝的關鍵數，從而確保獲勝。②如果對方先取，己方只需利用對方不知道其中奧秘，爭取到一個致勝數，就總能依①中方法取到下一個致勝數，最后取得勝利。實際上，如果局中人均熟知獲勝策略，那么開局的局勢就已經完全決定了結局的輸贏，例1其實是先取者必勝的局勢，從這個例子的分析過程我們得到啟示：可以用同余理論來探討一般情況。
一般地，在取石子游戲{a1，a2，…，am；k中，ai≡ai′(modk+1)(i=1，2，…，m)其中0≤ai′≤k，在{a1′，a2′，…，am′；k}中有取勝策略的一方在{a1，a2，…，am；k}中也有取勝策略。證明 在{a1′，a2′，…，am′；k}中有獲勝策略的一方，對於大於k的分量ai(i=1，2，…，m總能做到ai≡ai′(modk+1)，即對方取a(1≤k)，己方取k+1-a，使兩人各取一次之后該分量減小k+1，也就對第i堆各取n(n≥1)次之后石子數便由ai=ai′+n(k+1)變成ai′，故在{a1′，a2′，…，am′；k}中有取勝策略的一方在{a1，a2，…，am；k}中也有取勝策略。
游戲Ⅱ 有若干堆任意數目的小石子{a1，a2，…，am}，兩人輪流從中取石子，每人每次可以取走任意一堆中任意數目的石子，不能不取，把石子取完的人為勝者。
采用m元數組{a1，a2，…，am}(m≥1)來描述這類取石子游戲，一人取走一次石子相當於用某個T變換把其中某個分量ai(1≤i≤m)減小為ai′，即{a1，a2，…，ai，…，am}T{a1，a2，…，ai′，…，am}(0≤ai′<ai)。
有趣的是為了解決這類一般情況，我們需要用到整數的二進位制，把m元數組{a1，a2，…，am}中的每一個分量用二進位制數表示，ai(1≤i≤m)寫在第i行，同時對齊二進位制數的位數，在列上作十進位制加法，其和寫在第(m+1)行，記為{n1，n2，…，nj，…，nl}，如果所有這些和數nj(1≤j≤l)均為偶數，我們稱這個m元數組為偶數組；若nj(1≤j≤l)，中有一個數為奇數，則稱之為非偶數組。
例如：對於3元數組{2，3，5}；
a1 2 0 1 0
a2 3 0 1 1
a3 5 1 0 1
1 2 2
n1 n2 n3
因為其中n1=1，所以{2，3，5}是非偶數組。
同樣，對於3元數組{2，3，1}：
a1 2 1 0
a2 3 1 1
a3 1 0 1
由於nj(j=1，2)為偶數，則{2，3，1}為偶數組。
偶數組與非偶數組在T變換下具有如下性質：
(1)偶數組經過一次T變換之后一定變為非偶數組；
(2)對於非偶數組，一定可以找到某一個T變換，使其變為偶數組。
這樣我們容易判定：如果給定的m元數組是偶數組，則后取者必有獲勝策略；相反，若給定m元數組為非偶數組，則先取者有方法獲勝，因為給定的m元數組為偶數組，先取者無論怎樣取，只能將偶數組變為非偶數組，后取者則有策略將此時的非偶數組變為偶數組，由於每次取走石子，剩下石子數目一定越來越小，而{0，0，…，0}是偶數組，所以后取者獲勝，同理可證相反情況。
例2 有三堆石子，各堆數目分別是2、3、6，兩人輪流取，取完的人為勝者，若甲先乙后，誰取勝？
解：
a1 2 0 1 0
a2 3 0 1 1
a3 6 1 1 0
1 3 1
n1 n2 n3
ni為奇數i=1，2，3，所以{2，3，6}為非偶數，我們可以判定：先取者甲獲勝，依性質證明過程給出的操作方法，只需將a3=6變為1，可以驗證{2，3，1}是偶數組，無論乙如只可能變成如下六種情形之一：{2，3，0}，1}，{2，1，1}，{2，0，1}，{1，3，1}，{0，3，1}，都是非偶數組，同樣按原方法可以將其變2}或{1，1}，乙再取后，甲總能確保獲勝。
例3：第 12 屆全國青少年信息學奧林匹克聯賽初賽題現有5堆石子,石子數依次為3，5，7，19，50，甲乙兩人輪流從任一堆中任取 （每次只能取自一堆，不能不取）,取最后一顆石子的一方獲勝。甲先取，問甲有沒有獲勝策略（即無論 乙怎樣取，甲只要不失誤，都能獲勝）？如果有，甲第一步應該在哪一堆里取多少？請寫出你的結果： _________________________________________________。
解：由游戲Ⅱ知，得到如下推理：
19 010011
7 000111
5 000101
3 000011
010010 (18)10
50－18＝32
所以第1次只能在第5堆石子中取32粒，使得取出32粒后為偶數組。
最后我們看一道綜合利用游戲Ⅰ、Ⅱ的例子：
例4 在3×25的棋盤上放着三顆石a、b、c(如圖所示)，兩人輪流將石子向右移人一次只可以移動其中一顆石子1至5后無格可走者為輸家，若甲先行，乙后行，贏？
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a |
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c |
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解 由25≡7(mod6)，根據游戲Ⅰ的策略{25，25，25；5}中有獲勝策略的一方在{7，7，7；5}中也有獲勝方法，又把石子由圖中所示{3，2，6}移到{7，7，7}即相當於取石子游戲Ⅱ的{4，5，1}，由於{4，5，1}是偶數組，故先移者輸.