最少錢幣數-1-貪心算法（錯，或者叫有問題）-CCF-CSP練習題（50）

目錄

題目：

分析：

貪心算法C++代碼（有問題）：

總結：

---

來自湖大程序設計訓練系統（外網進不去，所以不貼鏈接了）。

題目：

最少錢幣數

問題描述	這是一個古老而又經典的問題。用給定的幾種錢幣湊成某個錢數，一般而言有多種方式。例如：給定了 6 種錢幣面值為 2、5、10、20、50、100，用來湊 15 元，可以用 5 個 2 元、1個 5 元，或者 3 個 5 元，或者 1 個 5 元、1個 10 元，等等。顯然，最少需要 2 個錢幣才能湊成 15 元。         你的任務就是，給定若干個互不相同的錢幣面值，編程計算，最少需要多少個錢幣才能湊成某個給出的錢數。
輸入形式	輸入可以有多個測試用例。每個測試用例的第一行是待湊的錢數值 M（1 <= M<= 2000，整數），接着的一行中，第一個整數 K（1 <= K <= 10）表示幣種個數，隨后是 K個互不相同的錢幣面值 Ki(1 <= Ki <= 1000)。輸入 M=0 時結束。
輸出形式	每個測試用例輸出一行，即湊成錢數值 M 最少需要的錢幣個數。如果湊錢失敗，輸出“Impossible”。你可以假設，每種待湊錢幣的數量是無限多的。
樣例輸入	15 6 2 5 10 20 50 100 1 1 2 0
樣例輸出	2 Impossible

分析：

要想錢幣數目最少，肯定緊着最大面值的錢用，當前剩余的錢數小於最大面值的錢的話就用第二大面值，以此類推，直到待湊的錢數值為0，或者不為0（則輸出Impossible）。基於這種想法，算法上叫貪心算法，我們還可以每次都算一次Money除以maxCoins最大面值的錢數值，得到用幾張最大錢幣，余數即為剩余錢幣數，這樣我們只用循環錢幣種數k次就能得出答案。

minCoin += money/coins[i]; //錢幣數
money = money%coins[i];    //剩余錢數

然而並沒有那么簡單，考慮這樣一組數據，例如有 1元，7元，9元，10元四種錢幣的情況下，要湊18元 ，貪心算法會給出答案需要3張（10元1張，7元1張，1元1張）但是我們可以明顯看出需要 2張（9元兩張）足矣，顯然貪心算法算出來的是錯誤的。那么怎么辦呢，只有用動態規划算法了。詳見：最少錢幣數（湊硬幣）詳解-2-動態規划算法（初窺）-CCF-CSP練習題。為什么貪心算法有問題還貼出代碼？僅供自己以后回憶參考，加深印象。

貪心算法C++代碼（有問題）：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    bool cmp(int a,int b);//降序排序比較函數
    int coins[10];//硬幣數目，由於題目給出不超過10種，所以我申請了10。
    int money; /*待湊錢的數值*/
    int kind;  /*錢幣種類數目*/
    int minCoin =0 ;//最少錢幣數
    int i;
    while(1)
    {
        minCoin = 0;//每次初始化為0
        cin >> money;     //讀入待湊錢數
        if(0 == money) break; //如果為0，則退出。
        cin >> kind;          //讀入擁有錢幣種類數
        for(i=0; i<kind; i++)
        {
            cin >> coins[i];  //依次讀入錢幣種類
        }
        sort(coins,coins+kind,cmp);  //降序排序錢幣種類
        for(i=0; i<kind; i++)
        {
            if(money-coins[i] >= 0)
            {
                minCoin += money/coins[i];
                money = money%coins[i];
            }
        }
        if( 0 == money )
        {
            cout << minCoin << endl;
        }else{
            cout << "Impossible" <<endl;
        }

    }
    return 0;
}

bool cmp(int a,int b) /* 降序排序比較函數，當a>b時，不交換；當a<b時交換*/
{
    return a > b;
}

總結：

這個解法在oj系統中有問題，只得了50分，剩下的每組數據有1個是錯誤的。所以在CCF-CSP考試時如果不會動態規划的話可以把貪心算法寫上去，能騙點分數。

使用貪心算法解決湊硬幣問題時，有些情況下是可以得出正解的，比如后一個錢幣面值沒有達到前一個錢幣面值的2倍時。對於有的問題得出的解是錯誤的。比如有3種面值分別為3元，5元，7元的紙幣，（1）那么至少用幾張紙幣能湊夠10元？我的直覺告訴我先選面值最大的，7元一張，然后再選面值5元的時候發現超額了（7+5>10），因此我們選3元一張，最少用2張紙幣就能湊夠10元，這個都能想出來的方法可以叫貪心算法（每次都選當前看來最好的選擇，不從整體最優考慮），（2）那么至少用幾張紙幣能湊夠8元呢？如果還按照貪心算法來解的話會得到Impossible。因為先選一張7元，然后再選5元（7+5>8）不行，換選3元（7+3>8）還不行。但是仔細看會發現5元+3元不是8元嗎，怎么會無解。所以貪心算法解這個問題是不行的。CSP考試時只能用來騙點分。

到這里我們發現用貪心算法會出現兩個問題 1）本來有解用貪心法算出來卻無解，例如上例（2）至少用幾張紙幣能湊夠8元？；2）算出來的解不是最優解，例如有 1元，7元，9元，10元四種面值的紙幣，要湊18元 ，貪心算法會給出答案需要3張（10元1張，7元1張，1元1張），但是我們可以明顯看出 2張（兩張9元）也可以。

那么問題出在了哪里？在這里用貪心算法是有條件的——后一個的權值（這里就是紙幣面值）是前一個的2倍或以上才可以使用，這里10不到9的兩倍。貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解。關鍵是貪心策略的選擇，選擇的貪心策略必須具備無后效性，即某個狀態以前的過程不會影響以后的狀態，只與當前狀態有關。在這里我們先選擇了10元，在第二步的時候9元就選擇不了了（10+9>18了），所以會錯過9+9這個最優解。所以說貪心算法在對問題求解時，總是做出在當前看來是最好的選擇，不從整體最優考慮。