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這篇使用動態規划算法來解決這個問題，借這篇博客初窺動態規划算法。最少錢幣數問題也可以看作多重背包問題。
那么什么是動態規划算法？
動態規划(dynamic programming，DP)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關系，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，這是該領域的第一本著作。（思想也有點像分布式處理）
———From Baidupedia
那么我們如何去描述它？
動態規划算法通常基於一個遞推公式及一個或多個初始狀態。 當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。使用動態規划來解題只需要多項式時間復雜度， 因此它比回溯法、暴力法等要快許多。
——From 從動態規划新手到專家
概念講完，開始做題。
題目：
| 問題描述 | 這是一個古老而又經典的問題。用給定的幾種錢幣湊成某個錢數，一般而言有多種方式。例如：給定了 6 種錢幣面值為 2、5、10、20、50、100，用來湊 15 元，可以用 5 個 2 元、1個 5 元，或者 3 個 5 元，或者 1 個 5 元、1個 10 元，等等。顯然，最少需要 2 個錢幣才能湊成 15 元。 你的任務就是，給定若干個互不相同的錢幣面值，編程計算，最少需要多少個錢幣才能湊成某個給出的錢數。 |
| 輸入形式 | 輸入可以有多個測試用例。每個測試用例的第一行是待湊的錢數值 M（1 <= M<= 2000，整數），接着的一行中，第一個整數 K（1 <= K <= 10）表示幣種個數，隨后是 K個互不相同的錢幣面值 Ki(1 <= Ki <= 1000)。輸入 M=0 時結束。 |
| 輸出形式 | 每個測試用例輸出一行，即湊成錢數值 M 最少需要的錢幣個數。如果湊錢失敗，輸出“Impossible”。你可以假設，每種待湊錢幣的數量是無限多的。 |
| 樣例輸入 | 15 6 2 5 10 20 50 100 1 1 2 0 |
| 樣例輸出 | 2 Impossible |
分析：
上一篇最少錢幣數-1-貪心算法（錯，或者叫有問題）-CCF-CSP練習題中使用的貪心算法解決的湊硬幣問題，有些情況下是可以得出正解的，比如后一個錢幣面值沒有達到前一個錢幣面值的2倍時；但對於某些情況來說得出的解是錯誤的。比如有3種面值分別為3元，5元，7元的紙幣，（1）那么至少用幾張紙幣能湊夠10元？我的直覺告訴我先選面值最大的，7元一張，然后再選面值5元的時候發現超額了（7+5>10），因此我們選3元一張，最少用2張紙幣就能湊夠10元，這個時候可以得出正解。這個方法容易想出來，抽象一點可以叫貪心算法（每次都選當前看來最好的選擇，不從整體最優考慮），（2）那么至少用幾張紙幣能湊夠8元呢？如果還按照貪心算法來解的話會得到Impossible。因為先選一張7元，然后再選5元（7+5>8）不行，換選3元（7+3>8）還不行。但是仔細看會發現5元+3元不是8元嗎，怎么會無解。所以貪心算法解這個問題是不行的。考CSP時只能用來騙點分。
到這里我們發現用貪心算法會出現兩個問題 1）本來有解用貪心法算出來卻無解，例如上例（2）至少用幾張紙幣能湊夠8元？；2）算出來的解不是最優解，例如有 1元，7元，9元，10元四種面值的紙幣，要湊18元 ，貪心算法會給出答案需要3張（10元1張，7元1張，1元1張），但是我們可以明顯看出 2張（兩張9元）也可以。
那么問題出在了哪里？在這里用貪心算法是有條件的——后一個的權值（這里就是紙幣面值）是前一個的2倍或以上才可以使用，這里10不到9的兩倍。貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解。關鍵是貪心策略的選擇，選擇的貪心策略必須具備無后效性，即某個狀態以前的過程不會影響以后的狀態，只與當前狀態有關。在這里我們先選擇了10元，在第二步的時候9元就選擇不了了（10+9>18了），所以會錯過9+9這個最優解。所以說貪心算法在對問題求解時，總是做出在當前看來是最好的選擇，不從整體最優考慮。
這里說了這么多，都是在討論上一篇，本篇主要討論正確解法——動態規划算法解題。可能你已經不耐煩了，那么先上一個此問題遞推公式（也可以叫做動態轉移方程）：（注:v[i]表示可以使用的紙幣的面額組成的數組，dp[m]表示要湊m元至少需要多少張紙幣。）
dp[m] = min(dp[m-v[i] ]+1,dp[m])那么這個方程怎么得來的呢？我們先了解一下DP（Dynamic Programing）的基本原理：首先，找到某個狀態的最優解，然后在它的幫助下，找到下一個狀態的最優解。不明白這個概念沒關系，我們以上面的例子為例來分析一下——如果我們有4種面值分別為1元，3元，5元，7元的紙幣，那么至少需要幾張紙幣就能湊出8元？
在分析這個問題之前先來思考一個問題，至少用多少張紙幣能湊夠m（表示money）元(m<8)呢？為什么要這么問呢？ 動態規划的思想：（1）當我們遇到一個大問題時，總是習慣把問題的規模變小，這樣便於分析討論。 （2）這個規模變小后的問題和原來的問題是同質的，除了規模變小，其它的都是一樣的， 本質上它還是同一個問題(規模變小后的問題其實是原問題的子問題)。
讓我們從規模最小的m開始。當m=0時，即我們需要多少個幣來湊夠0元呢？ 由於1，3，5，7都大於0，即沒有比0小的幣值，因此湊夠0元我們最少需要0個幣。 (em......Interesting，這個分析很傻是不是？別着急，這個思路有利於我們理清動態規划究竟在做些什么。) 為了方便我們用dp[m]=c來表示湊夠m元最少需要c個硬幣。於是我們就得到了dp[0]=0， 表示湊夠0元最小需要0個硬幣。當m=1時，只有面值為1元的硬幣可用， 因此我們拿起一個面值為1的硬幣，接下來只需要湊夠0元即可，而這個是已經知道的dp[0]=0。所以，dp[1]=dp[1-1]+1=dp[0]+1=0+1=1。當m=2時， 仍然只有面值為1的硬幣可用，於是我拿起一個面值為1的硬幣， 接下來我只需要再湊夠2-1=1元即可(記得要用最小的硬幣數量)，而這個答案也已經知道了。 所以dp[2]=dp[2-1]+1=dp[1]+1=1+1=2。分析到這里，聰明的你可能已經看出端倪，沒看出來沒關系，接下來讓我們看看m=3時的情況。當m=3時我們能用的硬幣就有兩種了：1元的和3元的( 5元的仍然沒用，因為你需要湊的數目是3元，5元面值太大了)。 既然能用的硬幣有兩種，我就有兩種方案。如果我拿了一個1元的硬幣，我的目標就變為了： 湊夠3-1=2元需要的最少硬幣數量。即dp[3]=dp[3-1]+1=dp[2]+1=2+1=3。 這個方案說的是，我拿3個1元的硬幣；第二種方案是我拿起一個3元的硬幣， 我的目標就變成：湊夠3-3=0元需要的最少張紙幣。即dp[3]=dp[3-3]+1=dp[0]+1=0+1=1. 這個方案說的是，我拿1個3元的硬幣。好了，這兩種方案哪種更優呢？ 記得我們的問題是要用最少的硬幣數量來湊夠3元。所以， 選擇dp[3]=1，怎么來的呢？具體是這樣得到的：dp[3]=min(dp[3-1]+1, dp[3-3]+1)。
有了上面的分析，這回應該能看出個門道了吧，你可能早已按奈不住了，現在我們就可以從以上分析抽象出我們想要的東西了——遞推公式。從以上的文字中， 我們要抽出動態規划里非常重要的兩個概念：狀態和狀態轉移方程。
上文中dp[m]表示湊夠m元需要的最少硬幣數量，我們將它定義為該問題的"狀態"， 這個狀態是怎么找出來的呢？是根據子問題定義狀態。你找到子問題，狀態也就浮出水面了。 最終我們要求解的問題，可以用這個狀態來表示：dp[8]，即湊夠8元最少需要多少個硬幣。 那狀態轉移方程是什么呢？既然我們用dp[m]表示狀態，那么狀態轉移方程自然包含dp[m]， 上文中包含狀態 dp[m] 的方程是：dp[3]=min(dp[3-1]+1, dp[3-3]+1)。沒錯， 它就是狀態轉移方程，描述狀態之間是如何轉移的。當然，我們要對它抽象一下，dp[m] = min(dp[ m-v[i] ]+1,dp[m])，其中 m-v[i] >=0，v[i] 表示第i個硬幣的面值，方程的含義是拿出一個面值為 v[i] 的硬幣后，湊夠 m-v[i] 元至少需要的硬幣數目（dp[m-v[i] ]）+1和湊夠m元至少需要的硬幣數目（dp[m]）相比較，取較小的存入dp[m]。
這里可能就會有人問了，為什么還要和dp[m]比較后再存入dp[m]，正如上面的例子，因為我們在湊夠m元時，可能有多種可行的方案，我們要比較出哪一種方案所需硬幣數目最小。例如在4種硬幣1、3、5、7元湊8元的時候會有三種方案，1）8個1元；2）3+5元；3）1+7元。我們得從中找到我們所要的答案。（如果用貪心算法的話可能會錯過最優解）
有了動態轉移方程，問題基本就算解決了。當然，Talk is cheap,show me the code!
C++動態轉移方程代碼：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int coins[10] = {0}; //硬幣面值數組，由於題目給出不超過10種，所以我申請了10。
int money = 0; //待湊錢的數值*/
int kind = 0; //錢幣種類數目*/
while(1)
{
cin >> money;
if(0 == money)break; //結束標志
int dp[money+1]; //動態規划數組
dp[0] = 0; //初始化第一個元素為0，因為要湊0元需要0個錢幣
cin >> kind; //硬幣面值種類數
for(int k=0; k<kind; k++)
{
cin >> coins[k]; //讀入硬幣面值，存入數組coins[]
}
for(int i = 1; i <= money; i++) dp[i] = 99999; //初始化數組dp[],設置dp[i]等於無窮大
for(int i = 1; i <= money; i++) //從湊1元開始，一直算到money元為止。
{
for(int j = 0; j < kind; j++)
{
if(i >= coins[j])
{
dp[i] = min(dp[i- coins[j] ] + 1, dp[i]);
}
/*****也可以寫成******
if(i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] + 1 < dp[i])
{
dp[i] = dp[i- coins[j] ] + 1;
}
自己干了，不用麻煩min()函數
*/
}
}
if( dp[money] == 99999 )
{
cout << "Impossible"<< endl;
}
else
{
cout << dp[money] << endl;
}
}
return 0;
}
如圖1-1所示，有4種面值的錢幣1元、3元、5元、7元時，從湊0元到湊8元至少所需錢幣數。
總結：
使用動態規划算法解決此題時，能全面的考慮到所有情況，從而找到最優解。但是相對於貪心算法來說時間和空間復雜度都會增加。這兩個算法有什么區別呢？如圖1-2所示。
動態規划算法不是一個具體的算法，動態規划算法要求我們具體問題具體分析。把一個大的問題變為一個和它同質的（除了規模變小，其他都一樣）小規模問題。然后推導出遞推公式（狀態轉移方程）。這是關鍵。那么這個推導遞推公式的能力怎么獲得呢？
動態規划程序設計是對解最優化問題的一種途徑、一種方法，而不是一種特殊算法。不像搜索或數值計算那樣，具有一個標准的數學表達式和明確清晰的解題方法。動態規划程序設計往往是針對一種最優化問題，由於各種問題的性質不同，確定最優解的條件也互不相同，因而動態規划的設計方法對不同的問題，有各具特色的解題方法，而不存在一種萬能的動態規划算法，可以解決各類最優化問題。因此讀者在學習時，除了要對基本概念和方法正確理解外，必須具體問題具體分析處理，以豐富的想象力去建立模型，用創造性的技巧去求解。我們也可以通過對若干有代表性的問題的動態規划算法進行分析、討論，逐漸學會並掌握這一設計方法。 ——From Baidupedia
最后一點總結，寫完東西一定要保存，剛剛去吃飯忘記保存，結果重新寫了倆多小時。
參考博文：從動態規划新手到專家