AVL樹是高度平衡的而二叉樹。它的特點是：AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為1。
AVL樹本質上還是一棵二叉搜索樹，它的特點是：
1.本身首先是一棵二叉搜索樹。
2.帶有平衡條件：每個結點的左右子樹的高度之差的絕對值（平衡因子）最多為1。
也就是說，AVL樹，本質上是帶了平衡功能的二叉查找樹（二叉排序樹，二叉搜索樹）。
既然是樹，那么就要有節點：
template <class T> struct AVLTreeNode{ T data; int height; AVLTreeNode* Left; AVLTreeNode* Right; AVLTreeNode(T v,AVLTreeNode* l,AVLTreeNode* r):data(v),height(0),Left(l),Right(r){} }; /* 數據解釋： data用來儲存節點值 height儲存的是幾點的高度 Left是左兒子 Right是右兒子 最后一項是構造函數 */
接下來我們給出AVL樹的定義
template <class T> class AVLTree{ private: //根節點 AVLTreeNode<T>* Root; public: AVLTree():Root(NULL){}//構造函數 void add(T data);//添加節點的外部接口 int height();//查詢高度的外部接口 int max(int a, int b);//比較兩個數據的大小 private: AVLTreeNode<T>* add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data);//添加節點的內部接口 int height(AVLTreeNode<T>* tree);//查詢高度的內部接口 AVLTreeNode<T>* LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2);//左左旋轉的具體實現 AVLTreeNode<T>* RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1);//右右旋轉的具體實現 AVLTreeNode<T>* LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3);//左右旋轉的具體實現 AVLTreeNode<T>* RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1);//右左旋轉的具體實現 };
1.查詢高度
/* 高度 作用：獲取樹的高度 */ template <class T> int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) { if (tree != NULL) return tree->height; return 0; } template <class T> int AVLTree<T>::height() { return height(Root); }
2.比較大小
/* 模板類改造比較兩個值的大小*/ template <class T> int AVLTree<T>::max(int a, int b) { return a>b ? a : b; }
3.旋轉
如果在AVL樹中進行插入或刪除節點后，可能導致AVL樹失去平衡。這種失去平衡的可以概括為4種姿態：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面給出它們的示意圖：
上圖中的4棵樹都是"失去平衡的AVL樹"，從左往右的情況依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情況之外，還有其它的失去平衡的AVL樹，如下圖：
上面的兩張圖都是為了便於理解，而列舉的關於"失去平衡的AVL樹"的例子。總的來說，AVL樹失去平衡時的情況一定是LL、LR、RL、RR這4種之一，它們都由各自的定義：
(1) LL：LeftLeft，也稱為"左左"。插入或刪除一個節點后，根節點的左子樹的左子樹還有非空子節點，導致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
例如，在上面LL情況中，由於"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(2)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；導致"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。
(2) LR：LeftRight，也稱為"左右"。插入或刪除一個節點后，根節點的左子樹的右子樹還有非空子節點，導致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
例如，在上面LR情況中，由於"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(6)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；導致"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。
(3) RL：RightLeft，稱為"右左"。插入或刪除一個節點后，根節點的右子樹的左子樹還有非空子節點，導致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
例如，在上面RL情況中，由於"根節點(8)的右子樹(12)的左子樹(10)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；導致"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。
(4) RR：RightRight，稱為"右右"。插入或刪除一個節點后，根節點的右子樹的右子樹還有非空子節點，導致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
例如，在上面RR情況中，由於"根節點(8)的右子樹(12)的右子樹(14)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；導致"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。
前面說過，如果在AVL樹中進行插入或刪除節點后，可能導致AVL樹失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通過旋轉使其恢復平衡，下面分別介紹"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"這4種情況對應的旋轉方法。
3.1LL旋轉
/* LL 在左左旋轉中，一共涉及到三代節點，我們把爺爺節點命名為K2，K2的左兒子命名為K1。 問題出現的原因是K1的左兒子增加了一個節點導致平衡樹失衡 解決思路： 讓K1成為爺爺節點，K2成為K1的右兒子，並且將K1的右兒子接為K2的左兒子，然后返回爺爺節點K1取代原來K2的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2){ AVLTreeNode<T>* k1; k1 = k2->Left; k2->Left = k1->Right; k1->Right = k2; k2->height = max( height(k2->Left), height(k2->Right)) + 1; k1->height = max( height(k1->Left), k2->height) + 1; return k1; }
3.2RR旋轉
/* RR 在右右旋轉中，一共涉及到三代節點，我們把爺爺節點命名為K1，K1的右兒子命名為K2。 問題出現的原因是K2的右兒子增加了一個節點導致平衡樹失衡 解決思路： 讓K2成為爺爺節點，K1成為K2的左兒子，並且將K2的左兒子接為K1的右兒子，然后返回爺爺節點K2取代原來K1的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ AVLTreeNode<T>* k2; k2 = k1->Right; k1->Right = k2->Left; k2->Left = k1; k1->height = max( height(k1->Left), height(k1->Right)) + 1; k2->height = max( height(k2->Right), k1->height) + 1; return k2; }
3.3LR旋轉
/* LR 在左右旋轉中，一共涉及到四代節點，我們把做根本的節點成為K3（曾爺爺節點），K3的左兒子稱為K1（爺爺節點），K1的右兒子稱為K2 問題出現的原因時K2的右兒子增加了一個節點之后導致樹的失衡 解決思路： 因為涉及到四代節點，所以需要兩次旋轉， 首先對K1，K2進行一次右右旋轉 =》 K2成為爺爺節點（即K3的左兒子），k2原本的左兒子稱為K1的右兒子，K1成為K2的左兒子 接下來對K2，K3進行一次左左旋轉 =》K2稱為曾爺爺節點，K2原本的右兒子成為K3的左兒子，K3成為K2的右兒子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3){ k3->Left = RR_Rotation(k3->Left); return LL_Rotation(k3); }
3.4RL旋轉
/* RL 在右左旋轉中，一共涉及到四代節點，我們把做根本的節點成為K1（曾爺爺節點），K1的右兒子稱為K3（爺爺節點），K3的左兒子稱為K2 問題出現的原因時K2的左兒子增加了一個節點之后導致樹的失衡 解決思路： 因為涉及到四代節點，所以需要兩次旋轉， 首先對K2，K3進行一次左左旋轉 =》 K2成為爺爺節點（即K1的右兒子），k2原本的右兒子稱為K3的左兒子，K3成為K2的右兒子 接下來對K1，K2進行一次右右旋轉 =》K2稱為曾爺爺節點，K2原本的左兒子成為K1的右兒子，K1成為K2的左兒子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ k1->Right = LL_Rotation(k1->Right); return RR_Rotation(k1); }
4.插入節點
template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data){ if (tree == NULL) { tree = new AVLTreeNode<T>(data, NULL, NULL); } else if (data < tree->data){ //將新加入的節點插入左子樹 tree->Left = add(tree->Left, data); //檢查加入新的結點之后樹是否失去平衡 if (height(tree->Left) - height(tree->Right) == 2) { if (data < tree->Left->data) tree = LL_Rotation(tree);//左左，新加入之后左兒子的左兒子深了 else tree = LR_Rotation(tree);//左右，新加入之后左兒子的右兒子深了 } } //將新加入的節點插入右子樹 else if (data > tree->data) { tree->Right = add(tree->Right, data); //檢查加入新的結點之后樹是否失去平衡 if (height(tree->Right) - height(tree->Left) == 2) { if (data > tree->Right->data) tree = RR_Rotation(tree);//右右，新加入之后右兒子的右兒子深了 else tree = RL_Rotation(tree);//右左，新加入之后右兒子的左兒子深了 } } else //該節點已經在樹中 { cout << "該節點已經存在樹中" << endl; } //更新更前當前節點的高度 tree->height = max( height(tree->Left), height(tree->Right)) + 1; return tree; } template <class T> void AVLTree<T>::add(T data){ add(Root, data); }
總的代碼：
#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; template <class T> struct AVLTreeNode{ T data; int height; AVLTreeNode* Left; AVLTreeNode* Right; AVLTreeNode(T v,AVLTreeNode* l,AVLTreeNode* r):data(v),height(0),Left(l),Right(r){} }; /* AVL樹的定義 為了保護類內數據，仿照網絡實例把函數寫成了內接口和外接口的形式。還有模板類。 感覺代碼有點繁雜，寫完之后調式的時候感覺不太順手，以后寫程序要注意內接口和外接口的模式 */ template <class T> class AVLTree{ private: AVLTreeNode<T>* Root; public: AVLTree():Root(NULL){} void add(T data); int height(); int max(int a, int b); private: AVLTreeNode<T>* add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data); int height(AVLTreeNode<T>* tree); AVLTreeNode<T>* LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2); AVLTreeNode<T>* RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1); AVLTreeNode<T>* LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3); AVLTreeNode<T>* RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1); }; /* 高度 作用：獲取樹的高度 */ template <class T> int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) { if (tree != NULL) return tree->height; return 0; } template <class T> int AVLTree<T>::height() { return height(Root); } /* 模板類改造比較兩個值的大小*/ template <class T> int AVLTree<T>::max(int a, int b) { return a>b ? a : b; } /* LL 在左左旋轉中，一共涉及到三代節點，我們把爺爺節點命名為K2，K2的左兒子命名為K1。 問題出現的原因是K1的左兒子增加了一個節點導致平衡樹失衡 解決思路： 讓K1成為爺爺節點，K2成為K1的右兒子，並且將K1的右兒子接為K2的左兒子，然后返回爺爺節點K1取代原來K2的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2){ AVLTreeNode<T>* k1; k1 = k2->Left; k2->Left = k1->Right; k1->Right = k2; k2->height = max( height(k2->Left), height(k2->Right)) + 1; k1->height = max( height(k1->Left), k2->height) + 1; return k1; } /* RR 在右右旋轉中，一共涉及到三代節點，我們把爺爺節點命名為K1，K1的右兒子命名為K2。 問題出現的原因是K2的右兒子增加了一個節點導致平衡樹失衡 解決思路： 讓K2成為爺爺節點，K1成為K2的左兒子，並且將K2的左兒子接為K1的右兒子，然后返回爺爺節點K2取代原來K1的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ AVLTreeNode<T>* k2; k2 = k1->Right; k1->Right = k2->Left; k2->Left = k1; k1->height = max( height(k1->Left), height(k1->Right)) + 1; k2->height = max( height(k2->Right), k1->height) + 1; return k2; } /* LR 在左右旋轉中，一共涉及到四代節點，我們把做根本的節點成為K3（曾爺爺節點），K3的左兒子稱為K1（爺爺節點），K1的右兒子稱為K2 問題出現的原因時K2的右兒子增加了一個節點之后導致樹的失衡 解決思路： 因為涉及到四代節點，所以需要兩次旋轉， 首先對K1，K2進行一次右右旋轉 =》 K2成為爺爺節點（即K3的左兒子），k2原本的左兒子稱為K1的右兒子，K1成為K2的左兒子 接下來對K2，K3進行一次左左旋轉 =》K2稱為曾爺爺節點，K2原本的右兒子成為K3的左兒子，K3成為K2的右兒子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3){ k3->Left = RR_Rotation(k3->Left); return LL_Rotation(k3); } /* RL 在右左旋轉中，一共涉及到四代節點，我們把做根本的節點成為K1（曾爺爺節點），K1的右兒子稱為K3（爺爺節點），K3的左兒子稱為K2 問題出現的原因時K2的左兒子增加了一個節點之后導致樹的失衡 解決思路： 因為涉及到四代節點，所以需要兩次旋轉， 首先對K2，K3進行一次左左旋轉 =》 K2成為爺爺節點（即K1的右兒子），k2原本的右兒子稱為K3的左兒子，K3成為K2的右兒子 接下來對K1，K2進行一次右右旋轉 =》K2稱為曾爺爺節點，K2原本的左兒子成為K1的右兒子，K1成為K2的左兒子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ k1->Right = LL_Rotation(k1->Right); return RR_Rotation(k1); } template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data){ if (tree == NULL) { tree = new AVLTreeNode<T>(data, NULL, NULL); } else if (data < tree->data){ //將新加入的節點插入左子樹 tree->Left = add(tree->Left, data); //檢查加入新的結點之后樹是否失去平衡 if (height(tree->Left) - height(tree->Right) == 2) { if (data < tree->Left->data) tree = LL_Rotation(tree);//左左，新加入之后左兒子的左兒子深了 else tree = LR_Rotation(tree);//左右，新加入之后左兒子的右兒子深了 } } //將新加入的節點插入右子樹 else if (data > tree->data) { tree->Right = add(tree->Right, data); //檢查加入新的結點之后樹是否失去平衡 if (height(tree->Right) - height(tree->Left) == 2) { if (data > tree->Right->data) tree = RR_Rotation(tree);//右右，新加入之后右兒子的右兒子深了 else tree = RL_Rotation(tree);//右左，新加入之后右兒子的左兒子深了 } } else //該節點已經在樹中 { cout << "該節點已經存在樹中" << endl; } //更新更前當前節點的高度 tree->height = max( height(tree->Left), height(tree->Right)) + 1; return tree; } template <class T> void AVLTree<T>::add(T data){ add(Root, data); } int main(){ int num; AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>(); cin>>num; for(int i=0;i<num;i++){ int x; cin>>x; tree->add(x); } cout<<"高度為："<<tree->height()<<endl; return 0; } /* 實例輸入： 16 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9 實例輸出： 5 */
源自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3577360.html