浙江金華 圖論整理

圖論

目錄

• 圖論
  • 基礎知識儲備：
    • （1）、概念：
    • （2）、圖的儲存:
    • （3）、度數序列：
  • 各類算法簡介：
    • （1）、Havel–Hakimi算法簡介：
    • （2）、Erdős–Gallai定理簡介：
    • （3）、遍歷(DFS/BFS)(pass...)
    • （4）、DFS Forest簡介：
    • （5）、歐拉回路
      • ①簡介：
      • ②代碼實現：
    • （6）、最小生成樹
      • ①Prim / Kruskal （復雜度： O(n^2) / O(m log m)）
      • ②Kruskal算法的正確性
      • ③Borůvka算法簡介：
      • ④最小瓶頸生成樹簡介：
      • ⑤生成樹計數簡介：
    • （7）、Matrix-Tree定理簡介：
    • （8）、最短路(SSSP)
      • ①簡介：
      • ①算法正確性：
      • ②一些變種：
      • ③最短路徑樹(圖)：
    • （9）、差分約束系統簡介：
    • （10）、Johnson算法介紹簡介：
    • （11）、半徑/直徑 (正權圖)簡介：
    • （12）、絕對中心 && 最小直徑生成樹
      • ①絕對中心簡介：
      • ②最小直徑生成樹簡介：
    • （13）、拓撲排序
      • ①字典序最小的拓撲序
      • ②最小拓撲序的一個變種
    • （14）、Hall’s marriage theorem簡介：
    • （15）、Kőnig's theorem簡介：
    • （16）、DAG最小路徑覆蓋簡介：
    • （17）、強連通分量 && 雙聯通分量
      • ①強連通分量簡介：
      • ②代碼（tarjan）：
      • ③雙聯通分量簡介：
    • （18）、割點和橋
      • ①簡介：
      • ②例（2-SAT）：
    • （19）、圖論例題整理（未完...）：
      • Allowed Letters(CF 1009 G)代碼實現：
      • Revmatching (TCO 2015 1A Hard)
      • Valid BFS? (CF 1037 D)
      • Cycle (HDU 5215)
      • 航空管制 (NOI 2010)
      • ABland Yard (AGC 27 C)
      • Cycling City (CF 295 E)
      • Hangar Hurdles (CERC 16)
      • Life of the Party (ONTAK 2010)
      • Allowed Letters(CF 1009 G)
      • Revmatching (TCO 2015 1A Hard)
      • Bajtman i Okrągły Robin (ONTAK 2015)
      • 不知名例題
      • 不知名例題2

基礎知識儲備：

（1）、概念：

圖 G 是一個二元組(V,E)，其中V稱為頂點集，E稱為邊集。它們亦可寫成 V(G)和E(G)。E的元素是一個二元組數對，用(x,y)表示，其中x,y∈V。

（2）、圖的儲存:

	①鄰接表  
	②鏈式前向星  
	③鄰接矩陣

（3）、度數序列：

①若把圖 G 所有頂點的度數排成一個序列 S，則稱 S 為圖 G 的度數序列。
②考慮無向圖，d1, d2, ... ,dn表示每個點的度數，d1 + d2 + ... + dn= 2e, 每條邊被計算兩次，一共有偶數個度數奇數的點。

各類算法簡介：

（1）、Havel–Hakimi算法簡介：

給定一串有限多個非負整數組成的序列，是否存在一個簡單圖使得其度數列恰為這個序列。令S=(d1,d2,...,dn)為有限多個非負整數組成的非遞增序列。 S可簡單圖化當且僅當有窮序列S’=(d2-1,d3-1,...,d(d1+1)-1,d(d1+2),...,dn)只含有非負整數且是可簡單圖化的。

（2）、Erdős–Gallai定理簡介：

令S=(d1,d2,...,dn)為有限多個非負整數組成的非遞增序列。S可簡單圖化當且僅當這些數字的和為偶數，並且對任意1<=k<=n都成立。
即公式：

（3）、遍歷(DFS/BFS)(pass...)

（4）、DFS Forest簡介：

Tree Edge指樹邊
Back Edge指連向祖先的邊
Forward Edge指連向子孫的邊
Cross Edge指連向樹其他分支的邊
在無向圖中只存在Tree Edge和Back 

（5）、歐拉回路

①簡介：

無向圖有歐拉回路的充要條件為每個點度數都是偶數且邊連通(注意孤立點)。有向圖有歐拉回路的充要條件為每個點的 入度 = 出度 且邊連通。一個聯通無向圖，有2k個奇數點，那么需要k條路徑。

②代碼實現：

inline void dfs(int u) {
	for(int i=head[u];i;i=head[u]) {
		while (i && vis[abs(s[i])]) i=e[i].nxt;
		head[u]=i;
		if(i) {
			vis[abs(s[i])]=1;
			dfs(v[i]);
			q[++top]=s[i];
		}
	}
}

（6）、最小生成樹

①Prim / Kruskal （復雜度： O(n^2) / O(m log m)）

②Kruskal算法的正確性

擬陣(E,I)滿足I的每個元素為E的子集。
空集屬於I
如果A屬於I，那么A的所有子集也屬於I
如果A,B屬於I，並且|A|>|B|，那么存在一個A中不屬於B中的元素u，滿足B∪{u}也屬於I。
這樣就被稱為擬陣，對於擬陣，我們可以使用貪心算法從小到大或者從大到小選擇。
令E為邊集，I為所有生成森林的集合，那么(E,I)為擬陣。
常見的擬陣還有匹配擬陣和線性無關組。

③Borůvka算法簡介：

一開始每個連通分量是一個點本身。每輪每個連通分量選擇和其他連通分量相連的最小的邊，然后合並。時間復雜度O(E log V)

④最小瓶頸生成樹簡介：

使得生成樹樹上最大邊權值最小。
方法1: 最小生成樹一定是最小瓶頸生成樹。
方法2: 二分答案，看點是否連通。
類比找第k大值的方法，首先隨機一個邊權w。
然后將不超過這個邊權的邊加入，遍歷這張圖。
如果圖連通，那么瓶頸不超過w，於是只需考慮邊權不超過w的邊。
否則將這些連通點縮起來，考慮邊權大於w的邊。
每次將問題的規模縮小至一半。
期望時間復雜度O(m)。

⑤生成樹計數簡介：

1.Prufer序列：一棵樹要得到Prufer序列，方法是逐次去掉樹的頂點，直到剩下兩個頂點。考慮樹T，其頂點為{1, 2, ... ,n}。在第i步，去掉標號最小的葉子，並把Prufer序列的第i項設為這葉的鄰頂點的標號。一棵樹的序列明顯是唯一的，而且長為n − 2。

2.復原：設這Prufer序列長n − 2。首先寫出數1至n。找出1至n中沒有在序列中出現的最小數。把標號為這數的頂點和標號為序列首項的頂點連起來，並把這數從1至n中刪去，序列的首項也刪去。接着每一步以1至n中剩下的數和余下序列重復以上步驟。最后當序列用完，把1至n中最后剩下的兩數的頂點連起來。

3.Cayley定理：完全圖的生成樹個數為n^{(n-2)次。如果每個點的度數為di，那么生成樹個數為(n-2)!/(d1-1)!/(d2-1)!/.../(dn-1)!每個連通塊大小為ai，那么添加一些邊將這些連通塊連通的生成樹個數為a1*a2*...*an*(a1+a2+...+an)}(n-2)次。

（7）、Matrix-Tree定理簡介：

	令G=D-A，然后去除G的任意一行一列G’，G’的行列式即生成樹個數。有向圖計數，即樹形圖個數。這里的D變為每個點的入度，刪去第i行第i列為從第i個點出發的樹形圖個數。

（8）、最短路(SSSP)

①簡介：

Dijkstra/Bellman Ford算法（時間復雜度O(m log n)或者O(nm)）
Floyd算法（O(n^3)）/ Johnson算法(負權)（(nm log n)）

①算法正確性：

Dijkstra 貪心
Bellman Ford 動態規划

②一些變種：

邊權是0/1
雙端隊列，如果是0在頭部插入，否則在尾部插入。
總長不超過W, 正權
使用0..W的桶+鏈表維護這些點，時間復雜度O(m+W)。

③最短路徑樹(圖)：

（9）、差分約束系統簡介：

根據最短路有不等式dis(v)<=dis(u)+w(u,v)，恰好存在一個這樣的u滿足條件。並且這樣計算出來的dis(v)是最大的。，對於一些s(v)<=s(u)+w(u,v)的限制，可以類比最短路建圖。

判斷解唯一時，對原圖求一遍最短路。將原圖取反，邊權取反，求一遍最長路。一個標號對應的是能取到的最小值，一個是最大值。如果相同則解唯一。

（10）、Johnson算法介紹簡介：

首先給圖中每個點一個標號h(v), 把每條邊(u,v)邊權改成w(u,v)+h(u)-h(v)。對於s-t的一條路徑p，權值為

所以不會改變最短路。
從1號點出發跑一遍最短路，記h(v)=dis(v)。
由不等式可以得到dis(u)+w(u,v)>=dis(v)，也就是改完之后邊權非負。
之后可以每個點用Dijkstra跑。

（11）、半徑/直徑 (正權圖)簡介：

u的偏心距：ecc(u)=max dis(u,v)
直徑 d=max ecc(u)
半徑 r=min ecc(u) (d≠2r)
中心 arg min ecc(u) (要求定義在點上)
絕對中心 (可以定義在邊上)

（12）、絕對中心 && 最小直徑生成樹

①絕對中心簡介：

固定一條邊(u,v)，考慮上面的點p的偏心距。
假設第三個點是w, dis(p,u)=x
那么對應的折線為 min(x+dis(u,w), w(u,v)-x+dis(v,w))。
那么偏心距為n條折線的最大值形成的折線。
按左端點排序維護一下。
時間復雜度O(nm log n)

②最小直徑生成樹簡介：

絕對中心的最短路樹證明:

注意一棵樹T有直徑為半徑的兩倍(對絕對中心來說)。
如果最小直徑生成樹T’不包含絕對中心，那么取T’的絕對中心v，顯然矛盾。

（13）、拓撲排序

每次去掉圖中入度為0的點。時間復雜度O(n+m)。如果最后不為空集那么這個圖不為DAG。 否則每個點入度不為0，即每個點可以選擇一個前趨，沿着前趨走根據抽屜原理一定能找到相同點，也就是一個環。

①字典序最小的拓撲序

每個點有不同的標號，要使得拓撲序最小。將拓撲排序的隊列改成優先隊列即可。

②最小拓撲序的一個變種

使得最后的拓撲序中1的位置盡量靠前，如果相同比較2的位置，依次類推。首先考慮如何求1最早出現的位置，可以將原圖反向，然后每次彈除了1之外的元素，直到隊列只剩下1為止。這是反圖中1的最晚的出現的位置，也就是原圖中最早的。根據是否在隊列里，這個圖被分成兩部分，在對應的圖中用同樣的方法處理2，依次類推。容易發現每次找盡量大的元素出隊，能完成上述的過程。所以等價於反圖最大字典序。

（14）、Hall’s marriage theorem簡介：

對於一個二分圖G=(X,Y,E)，記S為X的一個子集，N(S)為所有S中所有點鄰居的並集。
一個圖有完備匹配當且僅當X的所有子集S都有|S|<=|N(S)|
對一般圖的推廣:

推論: 每個正則二分圖都有完備匹配。

（15）、Kőnig's theorem簡介：

最小點覆蓋=最大匹配 (與最大流最小割定理等價)
最大獨立集=點數-最大匹配 (獨立集為點覆蓋的補集)
最小邊覆蓋=最大獨立集 (獨立集中每個點需要一條邊去覆蓋)

（16）、DAG最小路徑覆蓋簡介：

覆蓋所有的邊: 每條邊下界設為1, 然后求最小流。
覆蓋所有的點: 建立二分圖，對於u->v的邊，看做二分圖中的(u,v’)，然后答案為點數-最大匹配。
Dilworth 定理: 最大反鏈=最小鏈覆蓋

（17）、強連通分量 && 雙聯通分量

①強連通分量簡介：

Tarjan:
首先每個點根據DFS的時候訪問的順序進行標號，記作這個點的時間戳。
然后每個點維護一個low值，即這個點通過Tree edge和Back edge能訪問到時間戳最小的點。
如果一個點的能訪問到最早的點為這個點，就會形成一個新的強連通分量。
一個圖將強聯通分量縮起來將會形成一個DAG。

②代碼（tarjan）：

void tarjan(int pos){
    vis[stack[++index]=pos]=1;//入棧並標記
    LOW[pos]=DFN[pos]=++dfs_num;
    for(int i=pre[pos];i;i=E[i].next){
        if(!DFN[E[i].to]){
            tarjan(E[i].to);
            LOW[pos]=min(LOW[pos],LOW[E[i].to]);
        }
        else if(vis[E[i].to]) LOW[pos]=min(LOW[pos],DFN[E[i].to]);
    }
    if(LOW[pos]==DFN[pos]){
        vis[pos]=0;
        size[dye[pos]=++CN]++;//染色及記錄強連通分量大小
        while(pos!=stack[index]){
            vis[stack[index]]=0;
            size[CN]++;//記錄大小
            dye[stack[index--]]=CN;//彈棧並染色
        }
        index--;
    }
}

③雙聯通分量簡介：

點連通度: 最小的點集使得刪去之后圖不連通
邊連通度: 最小的邊集使得刪去之后圖不連通
如果一個圖的點連通度大於1，那么是點雙連通的，邊連通同理。
雙聯通分量為圖中的極大雙聯通子圖。

（18）、割點和橋

①簡介：

考慮DFS樹，每條非樹邊對應着一個點到祖先的路徑。對於一條非樹邊只要把對應的邊打上標記即可。比如對於(u,v)這條非樹邊，只要在u點打上+1的標記，v點打上-1的標記。v到v的父親的樹邊的覆蓋次數為子樹內所有標記的和。割點同理(注意特判根節點和葉節點)。

注意打標記這個過程可以在線完成。可以使用一個並查集維護當前雙聯通分量中的點，記錄一下每個雙聯通分量中最高的點。然后對於一條非樹邊，暴力將這些點合並起來即可。因為一條邊最多被合並一次，需要不超過O(m)次的並查集操作。邊雙聯通分量縮完之后會形成一棵樹。

②例（2-SAT）：

一堆變量的二元限制,問是否存在合法的賦值。

首先每個變量拆兩個點，Xi和Xi’表示Xi=1或0對於Xi or Xj這樣的限制，從Xi’向Xj連邊，從Xj’向Xi連邊，表示如果Xi取0，那么Xj要取1，反之亦然。同時對於Xi=1這樣的限制可以轉化為Xi or Xi，於是從Xi’向Xi連邊，表示不能取Xi’。對於這樣的圖求強連通分量。有解的充要條件為對於每個變量Xi和Xi’不在同一個強連通分量里。求方案的時候，對於一個變量Xi和Xi’，只要取Tarjan算法中強連通分量早形成的即可。感性認識: 如果Xi能到達Xi’，那么Xi’的強連通分量會早形成。

（19）、圖論例題整理（未完...）：

Allowed Letters(CF 1009 G)代碼實現：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int M=63;

int m,x,len,l,t;
int a[N],ans[N],js[7],f[M+2][N];
char s[N],ch[9];

inline int read() {
	int n=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch<='9' && ch>='0') {n=(n<<3)+(n<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return n*f;
}

inline int work(int x) {
    for(int k=0;k<=M;++k) {
        int jc=0;
        for(int i=0;i<6;++i) 
            if((k>>i)&1) jc+=js[i];
        if(f[k][len]-f[k][x]<jc) return 0;
    }
    return 1;
}

int main() {
	scanf("%s%d",s+1,&m);
    len=strlen(s+1);
    //預處理一下 
    for(int i=1;i<=len;++i) {
        a[i]=M,ans[i]=-1;
        ++js[s[i]-'a'];
    }
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        scanf("%d%s",&x,ch);
        l=strlen(ch),t=0;
        for(int j=0;j<l;++j) t|=1<<(ch[j]-'a');
        a[x]&=t;
    }
	for(int k=0;k<=M;++k) 
        for(int i=1;i<=len;++i) f[k][i]=f[k][i-1]+(bool)(a[i]&k);
    for(int i=1;i<=len;++i) {
        for(int j=0;j<6;++j) {
            --js[j];
            if(((a[i]>>j)&1) && work(i)) {
                ans[i]=j; 
				break;
            }
            ++js[j];
        }
        if(ans[i]==-1) {
            printf("Impossible\n");
            return 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=len;++i) cout<<char(ans[i]+'a');
    return 0;
}

Revmatching (TCO 2015 1A Hard)

Valid BFS? (CF 1037 D)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;

int n,x,y,res;
int vis[N],head[N];
vector<int> g[N],ans;
queue<int> q;

struct node {
	int a,b,nxt;
}e[N];

inline int read() {
	int n=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch<='9' && ch>='0') {n=(n<<3)+(n<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return n*f;
}

inline int cmp(int x,int y) {
    return e[x].b<e[y].b;
}

inline void init() {
    for(int i=1;i<=n;++i) e[e[i].a].b=i;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        sort(g[i].begin(),g[i].end(),cmp);
        for(int j=0;j<g[i].size();++j) res=g[i][j];
    }
}

inline void bfs(int s) {
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    while (!q.empty()) {
        int u=q.front();
        q.pop();
        ans.push_back(u);
        for(int i=0;i<g[u].size();++i) {
            int v=g[u][i];
            if(vis[v]) continue;
            vis[v]=1;
            q.push(v);
        }
    }
}

inline int pd() {
    for(int i=0;i<ans.size();++i) 
        if(e[i+1].a!=ans[i]) return 0;
    return 1;
}

int main() {
	n=read();
    for(int i=1;i<=n-1;++i) {
    	x=read(),y=read();
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) e[i].a=read();
    if(e[1].a!=1) {
        printf("No");
        return 0;
    }
    init();
    bfs(1);
    if(pd()) printf("Yes");
    else printf("No");
	return 0;
}

Cycle (HDU 5215)

航空管制 (NOI 2010)

題目簡述：

有n個航班依次起飛，一個時刻只能有一個飛機起飛，並且有m個限制:第一種限制，第i個飛機必須在c(i)的時刻前起飛。第二種限制，第i個飛機必須在第j個飛機之前起飛。

詢問:
一個可行的起飛方案。每個飛機最早的起飛時間。n<=2e3, m<=1e4

Solution

	倒過來變成每個飛機在某個時刻之后可以起飛。
	第二問變成每個飛機最晚什么時候起飛。
	直接用拓撲排序的做法即可。

ABland Yard (AGC 27 C)

題目簡述：

給你一個有向圖，每個點都標有01。問是否對於所有01串，都存在一條路徑，使得將路徑上經過的點的數字連起來得到01串。

Solution

	這里只討論二分圖。
	最大匹配: Hungarian/Hopcroft-Karp/Dinic
	最大權匹配: KM/費用流
	判斷是否存在奇環，只要看是不是二分圖即可。
	判斷是否存在偶環，首先看每條非樹邊對應的環是不是偶環。
	如果存在那么就找到了偶環。
	否則考慮如果兩個奇環相交，那么去除中間部分就會形成一個偶環。
	所以對於奇環的非樹邊只要暴力訪問樹邊打上標記，如果已經有標記了就說明存在奇環。
	時間復雜度O(n+m)

Cycling City (CF 295 E)

題目簡述：

你有一個n個點m條邊的無向圖。（n, m<=2e5）
問是否存在兩個點，使得這兩個點之間有三條簡單路，並且這三條簡單路沒有公共點。

Solution

	如果兩條非樹邊對應的環有交，那么一定可以找到這樣的兩個點。否則不存在。

Hangar Hurdles (CERC 16)

題目簡述：

有一個n*n的網格圖，上面有些格子可行，有些格子是障礙。（N<=1000 Q<=300000 ）
有Q個詢問，想把一個正方形箱子從(r1,c1)推到(r2,c2)，問箱子最大的大小。（起點終點是正方形箱子的中點）

Solution

	首先從障礙開始bfs，求出每個格子最近的障礙。然后變成了求一條路徑，使得路徑上的最小值最大。求最大生成樹，然后在上面倍增詢問即可。

Life of the Party (ONTAK 2010)

Allowed Letters(CF 1009 G)

題目簡述：

你有6種字母，第i個字母有ci個。你要用這些字母排成一個字符串，其中有一些條件，第i個位置只能填某個字母的子集。問你能填出的字典序最小的字符串是什么。（sum ci<=10^5）

Solution

	首先求出最大匹配，下面考慮左邊點的情況。我們將匹配中的邊從右往左連，不在匹配中的邊從左往右連。這個時候一條增廣路成為一條連續的路徑。從每個左邊未匹配的點還是遍歷，如果被一個左邊的點被訪問到，說明存在一條增廣路，也就是不一定在最大匹配中。所有沒有被訪問到的點一定在最大匹配中。

Revmatching (TCO 2015 1A Hard)

題目簡述：
給定一個n個點的二分圖，每條邊有一個邊權。找到一個邊權和最小的邊集，使得刪掉這個邊集之后不存在完備匹配。n<=20
Solution

	根據Hall定理，只要存在一個集合S，使得|N(S)|<|S|，則不存在完備匹配。於是我們枚舉S集合，然后貪心刪除邊集使得|N(S)|<|S|。

Bajtman i Okrągły Robin (ONTAK 2015)

題目簡述：

有n個強盜，每個強盜會在時刻l到時刻r搶劫，會造成c的損失。在一個時刻，你可以選擇抓一個強盜，強盜被抓住之后不會造成損失。你要抓盡量多的強盜使得損失盡量小。（n<=5000）

Solution

	按強盜從大到小排序，貪心選取每個強盜能不能抓。判斷一些強盜能不能抓完，可以按左端點排序，使用優先隊列維護右端點。貪心算法的正確性: 考慮匈牙利算法，從大到小一個一個匹配，一個點一旦在匹配中，那么一直在匹配里面。

不知名例題

題目簡述：

平面上有n個點(x_i,y_i)，將這些點紅藍染色使得每行每列紅藍點個數的差不超過1。生成2^n的01串(這個串頭尾相連)，使得所有長度為n的01串都出現過。

不知名例題2

題目簡述：
有n個點，每個點有個權值ai，兩個點之間的邊權為(ai+aj) mod M。問最小生成樹。（N<=1e5，0<=M,a_i<=1e9）