[六]基礎數據類型之浮點數簡介

Java中,基本數據float 和double的包裝類Float和Double都是浮點類型

所以對於浮點數在計算機中的表示方法需要有一個基本了解,否則很難了解清楚Float和Double的實現原理

本文對計算機中的浮點數表示IEEE754標准,進行了簡單介紹

浮點數的表示

IEEE754 標准

  

 

 

因為指數有正有負，指數位中我們就要拿出第一位來指示符號,但是處理起來會不方便

所以給指數的真值 加上 指數偏移值 ，就能保證結果總是一個非負數  

標准規定

指數偏移值為  2(e−1) -1  e為指數的位數

單精度  指數偏移值為127     對於雙精度  指數偏移值為1023  

指數無符號數表示的范圍

單精度8位   0~255

雙精度11位 0~2047

指數真值也就是實際的值

單精度 -127 ~ 128

雙精度 -1022 ~ 1023

不過頭尾 被保留, 會另做他用 ,下面會繼續說明
所以實際的值要去掉頭尾,也就是

單精度 -126 ~ 127

雙精度 -1022 ~ 1023

規范化形式

綜上,一個實數在計算機中表示形式為:

sign  s          符號位
exponent     指數部分
fraction        尾數部分

按照我們上面講的,指數真值也就是實際的值

單精度 -127 ~ 128

雙精度 -1022 ~ 1023

也就是不包括頭尾, 也就是指數部分不包括 指數全是0 (0) 或者全是1(255)的情況 

這就是規范化形式,對於規范化形式,表示的數值如下

 

S = 符號位

M=1.f

E=指數值-指數偏移值

表示的數值為:

這是浮點數的規范化表示形式
S表示符號位
尾數部分前隱含一個小數點,小數點前隱含一個1
指數的真值E 也就是 指數部分表示的無符號數減掉指數偏移值

取值范圍

單精度

單精度指數的范圍(指數 - 指數偏移值之后的值 )  為:
-126 ~ 127

正數最大值
指數為正數的最大值 127
尾數 也為最大值 全部都是1  也就是23個1
(-1)0  × 1.11111...(23個1)  × 2127 
也就是
(2−2−23)×2127

 

1.11111...(23個1)  = 20 +2-1 +2-2 + ....2-23

 

 

公比 q= 1/2    a1 = 20

代入公式 

正數最小值

指數為負數的最小值 -126

尾數 也為最小值, 全部都是0  也就是23個0

1.0  ×  2-126

 

雙精度

雙精度指數的范圍(指數 - 指數偏移值之后的值 )  為:

-1022 ~ 1023

正數最大值

指數為正數的最大值 1023

尾數 也為最大值 全部都是1  也就是52個1

(-1)0  * 1.11111...(52個1)  * 21023 

也就是

(2−2−52)×21023   (還是等比數列求和)

正數最小值

指數為負數的最小值 -1022

尾數 也為最小值, 全部都是0  也就是52個0

1.0 × 2-1022  

非標准化形式

試想,對於單精度 1.001×2−125  和1.01×2−125, 它們的差值是0.001×2−125=1.0×2−128

兩個數值之間的差小於能夠表示的最小值

也就意味着兩個不相等的數進行減法運算,將會瞬間下溢, 得到的結果將會是0

其實這就是精度不夠的問題

所以又規定了非標准化形式

那么怎么區分什么時候是標准什么時候是非標准呢? 就是使用保留的指數的取值范圍 

對於指數部分,如果所有的比特位全都是0 ,那么這就是一個非標准化形式

在非標准化情況下,尾數部分之前有隱含的小數點, 但是小數點之前,隱含的不在是1 而是0 

對於指數的真值,不再是指數部分表示的無符號數減掉指數偏移量

一旦指數部分為0  (也就是所有的比特位都是0),這就是一個標記符號了,不再有指數大小的含義

這種情況下 

指數的真值為  1 - 指數偏移量

單精度為 1-127= -126

雙精度為 1-1023 = -1022

單精度  (−1)s ×  (0.f)  ×  2-126  
雙精度  (−1)s ×  (0.f)  ×  2-1022

 

取值范圍

很顯然,對於非標准化形式來說,指數的真值變成了固定值

想要獲得正數的最小值,只需要最后一位為1 其他所有的尾數部分全都是0即可

單精度	0.0000...1(23位,最后一位為1)  ×  2-126   =  2-23 ×  2-126  =  2-149
雙精度	0.0000...1(52位,最后一位為1)  ×  2-1022 = 2-52 ×   2-1022 = 2-1074

 

特殊值

指數部分表示的無符號數,頭尾被保留,用於表示一些特別的含義

對於標准化形式,指數部分 既不是全0  也不是全1

非標准化情況下,指數部分為全0

當指數部分中所有bit的值全是1，f中所有bit的值全是0，表示無窮大

根據符號位來區分正無窮和負無窮

當指數部分中所有bit的值全是1，f中所有bit的值不全是0  表示NaN(Not a Number)

如果 指數 是0 並且 小數部分 是0, 這個數是0 根據符號位區分+0  和  -0