從IEEE754標准談C語言浮點數據類型

先看下面幾個問題，如果你能准確地回答，那么此篇文章將不適合你：

• 計算機中怎樣表示浮點數的，與整型的表示方法有什么不同？
• 32位精度的float類型和64位精度的double類型能表示浮點數最大范圍是多少？
• 該C語言語句 printf("%d\n", 2.5);  輸出結果是什么，為什么？

我先說在此之前我如果回答，答案如下：

• 計算機中有符號整型采用補碼進行表示，浮點型怎么表示沒想過。
• float類型可以表示-2³²-1~2³²，double類型可以表示-2⁶⁴-1~2⁶⁴。
• 輸出格式要求輸出整型，而數是浮點型，類型轉化之后輸出結果為2。

有一點可以明確，我的回答都是錯誤的。那好吧，下面是我查看一些資料總結出來的，希望能解釋清楚其中的”奧秘“。

 

IEEE754標准（以下簡稱”標准“）是使用最廣泛的浮點數運算標准，為許多CPU與浮點運算器所采用。該標准定義了表示浮點數的格式，如下圖所示：

下面只討論二進制浮點數的表示，分成了三個部分：

符號位、指數、尾數，它們的含義可以類比科學計數法。如：

科學計數法中： 

（102.35045）₁₀ = +1.0235045 × 10²  符號位為正，指數是2，尾數是1.0235045。

（-0.00023103）₁₀ = -2.3103 × 10^-4  符號位為負，指數是-4，尾數是2.3103。

同樣在規格化二進制浮點數中：

（1001.0111010）₂ = +1.001011101 × 2³ 符號位為正，指數是3，尾數是1.001011101。

（-0.0001010011）₂ = -1.010011 × 2^-4 符號位為負，指數是-4，尾數是1.010011。

由上面的實例可以知道，在二進制浮點數被規格化后，尾數的格式都是1.****，指數表示將小數點移動多少位可以實現規格化（向左指數加1，向右指數減1），因此可以正也可為負。

標准同時規定：

• 符號位用1位表示，0表示正數，1表示負數；
• 指數采用移碼表示（原來的實際的指數值加上一個固定值得到的），這個固定值為2^e-1-1（e為指數部分比特長度），之所以加上這個偏移量，是為了將負數變成非負數，這樣兩個指數的大小很容易就可以比較。
• 尾數采用原碼表示，正如上所說，規格化二進制浮點數最高位均為1，那么小數點前這個就沒必要用一個比特位去存儲，我們默認已經存在，稱為”隱藏位“。

標准規定了四種浮點數的表示方式：單精確度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43比特以上，很少使用）與延伸雙精確度（79比特以上，通常以80比特實做）。C語言中float和double浮點型分別對應的是單精度和雙精度浮點數，下面介紹這兩種浮點數的存儲格式：

如上面兩個例子，分別使用單精度和雙精度表示如下：

（1001.0111010） ₂ = +1.001011101 × 2 ³

單精度： 符號位0，指數位為3+127=130（10000010），尾數1.001011101隱藏最高位1之后為001011101，因此表示為：

0 10000010 00101110100000000000000

雙精度：只是在指數位上加的偏移量不同，3+1023=1026（10000000010），表示為：

0 10000000010 0010111010000000000000000000000000000000000000000000

（-0.0001010011） ₂ = -1.010011 × 2 ^{- 4}

單精度：符號位1，指數位為-4+127=123（1111011），尾數1.010011 隱藏最高位1之后為010011，因此表示為：

0 01111011 01001100000000000000000

雙精度：指數位為-4+1023=1019（1111111011），表示為：

0 01111111011 0100110000000000000000000000000000000000000000000000

至此，應該已經解釋清楚了浮點數在計算機中的存儲格式和方法了，也就等於回答了上面的第一個問題，至於第二個問題，如果理解了上面所說的，求浮點數表示的范圍就應該很簡單了，下表為單精度浮點數各種極值情況：

至於最后一個問題，我們寫一個C語言程序進行測試:

#include <stdio.h>

int main()
{
        printf("%d\n", 2.5);
        return 0;
}

編譯運行結果如下：

[guohl@guohl]$ gcc -o test test.c -g
[guohl@guohl]$ ./test 
0

運行結果和我們預期的2不一樣，使用gdb調試，在main函數處插入斷點，並且反匯編main函數之后得到：

(gdb) break main
Breakpoint 1 at 0x8048415: file test.c, line 5.
(gdb) run
Starting program: /home/guohl/Documents/AS/test 

Breakpoint 1, main () at test.c:5
5        printf("%d\n", 2.5);
(gdb) disassemble 
Dump of assembler code for function main:
   0x0804840c <+0>:    push   %ebp
   0x0804840d <+1>:    mov    %esp,%ebp
   0x0804840f <+3>:    and    $0xfffffff0,%esp
   0x08048412 <+6>:    sub    $0x10,%esp
=> 0x08048415 <+9>:    fldl   0x80484e0
   0x0804841b <+15>:    fstpl  0x4(%esp)
   0x0804841f <+19>:    movl   $0x80484d8,(%esp)
   0x08048426 <+26>:    call   0x80482f0 <printf@plt>
   0x0804842b <+31>:    mov    $0x0,%eax
   0x08048430 <+36>:    leave  
   0x08048431 <+37>:    ret    
End of assembler dump.

fldl addr 指令將內存addr中的雙精度浮點數加載到FPU寄存器堆棧，fstpl value 將雙精度數據從FPU寄存器堆棧出棧，保存到value中。因此，

0x08048415 <+9>: fldl 0x80484e0 
0x0804841b <+15>: fstpl 0x4(%esp) 

首先取出內存0x80484e0處的雙精度浮點數加載到FPU寄存器st0中，再從st0中取出放到esp-4處。先使用gdb -x命令查看內存0x80484e0處的內容：

(gdb) x/fg 0x80484e0
0x80484e0:    2.5
(gdb) x/2xw 0x80484e0
0x80484e0:    0x00000000    0x40040000
(gdb) x/8tb 0x80484e0
0x80484e0:    00000000    00000000    00000000    00000000    00000000    00000000    00000100    01000000

從上可以看到，以雙字的小數查看結果為2.5，由於我們平台采用的是小端格式存儲（little-edian,低位字節存儲在低內存位置），所以將以字節查看得到的結果恢復成下面的表示方法：

01000000 00000100 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

我們用IEEE754標准的雙精度格式解析上面這段二進制，符號位為0，即為正；指數位為10000000000（1024）減去偏移量1023為1；尾數0100…000，加上隱藏位1，為1.01（即十進制1.25）。所以結果為+1.25×21 = 2.5，符合我們的預期。

那么fstpl指令將該浮點數加載到esp-4處作為printf函數的參數，再接着指令“movl $0x80484d8,(%esp) ”將輸出格式控制符"%d" 的指針保存到esp指向的位置作為printf函數的函數，我們可以使用gdb查看內存0x80484d8處是不是格式控制符字符串：

(gdb) x/4cb 0x80484d8
0x80484d8:    37 '%'    100 'd'    10 '\n'    0 '\000'

確實如我們所想，現在在調用printf之前函數堆棧的結構如下所示：

進入printf函數，解析第一個參數輸出格式控制字符串，遇到%d，函數從之前壓棧的參數取出一個整型即取到上圖中esp+4處的值，以整型數輸出，為0。這就是我們上面運行./test 的輸出結果，而不是我想當然的程序會將2.5強制類型轉化為整型得到2！

 

 

參考資料：

http://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

Richard Blum, Professional Assembly Language