概述
牛頓迭代法是一種數值算法，可以用於求函數的零點。其思想在於把函數抽象為直線，一步步用估計逼近函數的零點。
其逼近速度非常有效，常常在十幾步迭代內就能求得非常精確的結果，十分高效。
引理
考慮在如下坐標系\(xOy\)中的一條直線：
其值在\(x=x_0\)時取值為\(y_0\)。那么這條直線與\(x\)軸的交點的\(x\)坐標\(A\)為多少？
設這條直線的解析式為\(y=kx+b\)，則有
\[y_0=kx_0+b \]
即
\[b=y_0-kx_0 \]
令\(y=0\)，得方程
\[kx+y_0-kx_0=0 \]
解得
\[x=\frac{kx_0-y_0}{k} \]
即
\[x=x_0-\frac{y_0}{k} \]
牛頓迭代法
我們正式開始使用牛頓迭代法求函數\(f(x)\)的零點。
問題：試求\(\sqrt{2}\)的近似值。
原命題等價於求函數\(f(x)=x^2-2\)的零點。
第一步：猜測初始值
首先我們隨便猜測一個值。不妨設為\(x=4\)吧。
第二步：迭代
過\((x,f(x))\)點作\(f(x)\)的切線，得到：
根據導數的幾何意義，這條直線的斜率為\(f'(x)\)，則根據我們前面得到的結論，這個函數與\(x\)軸的交點的\(x\)坐標為
\[x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)} \]
根據最理想的估計，如果導數不變的話，零點應該就在那個位置。那么我們令\(x=x'\)，這稱為一次迭代。
回到例子。\(f(x)=x^2-2\)，則\(f'(x)=2x\)，則有：
\[x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)}=x-\frac{x^2-2}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{x} \]
每次用\(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\)替代\(x\)，重復以上過程：
可以看到，僅僅進行了六次迭代，就得到了\(20\)位的精確值。
程序如下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
double a,x;
double f(double x){return x*x-a;}
double df(double x){return 2*x;}
int main(){
scanf("%lf",&a);
x=1;
while(fabs(f(x))>=eps)x-=f(x)/df(x);
printf("%.10lf\n",x);
}