母函數及其應用+模板

部分摘自這位大佬的博客https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5207730.html

生成函數即母函數，是組合數學中尤其是計數方面的一個重要理論和工具。 最早提出母函數的人是法國數學家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理論》中明確提出“生成函數的計算”。 生成函數的應用簡單來說在於研究未知（通項）數列規律，用這種方法在給出遞推式的情況下求出數列的通項。 

在這里我們不去高深地研究數學上母函數，而是講講簡單的母函數應用。

1.母函數引入

就是把一個已知的序列和x的多項式合並起來，新產生的多項式就叫原來序列的母函數

序列{0,1，2，3，4，5...n}的母函數就是

f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n（這個x沒有任何意義，應該說，你不需要把它當做一個函數，你只要知道母函數這么寫就可以了）

 

序列{1,1,1,1,1......}的母函數就是

f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4....

 

二項式展開的序列比如這個{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0.....}是C(4,0)到C(4,4)的系數，那它的母函數就是

f(x)=1+4x+6x^2+4x^3+1x^4

 

這些東西對於我們來說並沒有說明意義，母函數對我們來說只是一個工具，是一個載體，那來看看母函數是怎么樣裝載數據的吧！

 

例1：若有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？各有幾種可能方案？ 

 假如x的指數表示砝碼

那么

1克的砝碼表示為1+x^1

2克的砝碼表示為1+x^2

3克的砝碼表示為1+x^3

4克的砝碼表示為1+x^4

 

每個砝碼都可以選擇取或不取

所以這里的1可以認為1*x^0，表示不取這顆砝碼

 那么把這些乘起來

(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=1+(x^1)+(x^2)+2(x^3)+2(x^4)+2(x^5)+2(x^6)+2(x^7)+(x^8)+(x^9)+(x^10)

 

根據指數來看，我們可以稱出0~10這么多的重量，其中3~7的系數為2，說明有2種稱的方法

那么我們來細看一遍

0：（什么砝碼都不放）.......................（1種）

1：1.............................................（1種）

2：2.............................................（1種）

3：3或1+2.....................................（2種）

4：4或1+3.....................................（2種）

5：1+4或2+3.................................（2種）

6：2+4或1+2+3..............................（2種）

7：3+4或1+2+4..............................（2種）

8：1+3+4......................................（1種）

9：2+3+4......................................（1種）

10：1+2+3+4.................................（1種）

 

分毫不差

所以說母函數在ACM就是這么用的，跟函數沒關系，跟寫法有關系。

 

例2：求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數，每種郵票可以有無限張。

因郵票允許重復，故母函數為：

對於這種連續相乘，我們人類是很討厭的，但對於計算機這種重復運算是很輕松的，我們只要將我們解多項式的思路帶進去即可。

2.代碼說明

我們首先知道對於最后得到的那一個母函數，系數代表的是方案數，而指數代表的是組成的數值，運算過程就是多項式的乘法。而兩個多次方程的乘法，運算無非是系數相乘，指數相加，僅僅是這個方程的兩個信息的運算。那能不能用什么數據結構直接表示出一個對象的這個兩個信息呢？首先想到的可能是結構體，結構體可以用來表示一個對象的多個信息，但是運算繁瑣；其實用數組就可以了，下標代表組成的數值，數組取值代表方案數！！！

a.求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：（每張郵票的數量是無限的）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAX 310
int a[MAX];///最終合並的多項式
int b[MAX];///臨時合並用的多項式
int n;
const int N=110;
using namespace std;
void init()
{
    int i,j,k;
    a[0]=1;///一開始的0的情況
    for (i=1; i<=3; i++)///代表1分,2分,3分三個多項式的合並
    {
        for (j=0; j<N; j+=i)///i分的郵票,步長為i
        {
            for (k=0; k+j<N; k++)///從x^0到x^N遍歷一遍
            {
                b[j+k]+=a[j];///核心
            }
        }
        for (j=0; j<N; j++)///b中數據抄到a,b清空
        {
            a[j]=b[j];
            b[j]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    int i,j,k;
    init();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("%d\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

 

b.hdu 1028

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

題目問一個數字n能夠拆成多少種數字的和

比如n=4

  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;

有5種，那么答案就是5

其實這個題就可以轉換成使用1~N個數，每個數可以多次使用，能組成的數有多少種方案？

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAX 130
#define N 130
#define ll long long int
ll a[MAX];
ll b[MAX];
int n;
using namespace std;
void init()
{
    int i,j,k;
    a[0]=1;
    for (i=1; i<=MAX; i++)
    {
        for (j=0; j<N; j+=i)
        {
            for (k=0; k+j<N; k++)
            {
                b[j+k]+=a[k];
            }
        }
        for (j=0; j<N; j++)
        {
            a[j]=b[j];
            b[j]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("%lld\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

 

c.hdu 1398

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

題目說一個國家的硬幣都是方形的，面值也是方形的

有1塊錢，4塊錢，9塊錢，16塊錢......一直到289塊錢（17^2）

問想組成n塊錢有幾種方法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long int
#define MAX 17
#define N 305
using namespace std;
ll a[N];
ll b[N];
void init()
{
    int i,j,k;
    a[0]=1;
    for (i=1; i<=MAX; i++)
    {
        for (j=0; j<N; j+=i*i)
        {
            for (k=0; k+j<N; k++)
            {
                b[j+k]+=a[k];
            }
        }
        for (j=0; j<N; j++)
        {
            a[j]=b[j];
            b[j]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    init();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n==0)
        {
            break;
        }
        printf("%lld\n",a[n]);
    }
    return 0;
}