根據定義，這個序列作為函數的系數，稱G(x)就是序列的母函數。和一般意義上的函數相比，母函數的功能是計數。
從百度和維基上能找到的相關說明都顯得太學院派，不容易理解，還是用例子說明並引入吧。
有這樣一道例題：
到這一章為止，已知的計數法則就兩種，加法法則（或）和乘法法則（且）。前者是分類思想，后者是分步。
法1:分步來看，第一個骰子有1-5種可能，因為兩個骰子之和是6，所以一旦第一個骰子確定了，第二個骰子也就隨之確定。第一個骰子的每一種可能性都僅對應第二個骰子的唯一確定的點數。因此5*1=5種。
法2:分類來看，有可能是1+5=5+1或2+4=4+2或3+3=3+3，累加起來，一共五種可能。
當然這個是最最簡單的例子，也很容易想，但如果骰子有很多呢？
這種情況下，挨個挨個地枚舉顯然是愚蠢的。而伯努利在300年前已經研究過這個問題了，是關於“投擲m粒骰子時，點數總和為n的可能方案數”，這個問題乍看之下很復雜，令人懷疑人生。
那么先從簡單情形考慮，兩個骰子擲出n點，有多少種可能。這相當於把n拆分成兩個數的和，這時候對n枚舉就很復雜，所以對兩個骰子枚舉。第一個骰子，6種可能，相互之間是“或”的關系，對應的是加法，但是不能直接相加，因為這無法反映兩個骰子的疊加過程。
我們需要逐個分析一個骰子的不同情況，對於一個骰子，假如擲出2個點，就可以看作一個分步策略，相當於——先擲一個點，再擲一個點，所以是(●)^2，當然這樣不習慣，於是用x2來表示。那四個點是x4,因此可以用指數對應點數。
這樣就可以用（x+x2+…+x6）表示一個骰子的投擲過程，對於第二個骰子也是這樣，最后兩式相乘，x6前面的系數就是有多少種出現6點的方案。
最后的母函數求出來是
兩個骰子擲出n點的可能方法數就是求G(x)中xn的系數。實際上系數起了關鍵性的作用，母函數中的系數對應了計數序列。
那么回溯到最初伯努利提出的問題，m粒骰子就是m個多項式累乘
而要求點數總和為n的可能方案數，也就是求展開式中xn的系數。這可以看出來，對於這個多項式，我們並不關心它的值，現在關心的卻是它的系數了。（所以母函數確實是一位母親，計數序列作為系數就是她的孩子233）
所以母函數的定義我們可以進一步提煉出兩點
- 關注每一個計數的序列
- 每一個計數序列對應的是xn
而這個定義是拉普拉斯在研究概率的時候，研究了母函數的方法和相關定義。（1812年拉普拉斯在著作《概率的分析理論》第一卷中系統地研究了母函數的方法和有關理論）
最后總結一下，母函數實際上是用來做什么的，以及它和函數有什么區別。
對於母函數
- 是計數工具，x的取值我們不關心，似乎只是個占位置的東西
- 不考慮斂散性
- 不考慮實際上的函數值
- 形式冪級數（Formal power series）
雖然形式上是函數，但“似函數，非函數”。
那——為什么要引入一個母函數呢？因為在現實世界里，對於各種復雜的事件，我們要通過“映射”的方式將其簡化，比如說對於分數冪的運算十分困難，我們用一個對數映射將其簡化，再求原問題的解，就相對容易了。
在母函數中同樣如此，在一開始思考的骰子問題里，直接計算是十分困難的，后來發現通過分步來考慮的時候，把多項式引入，求出相應系數后再對應回來，就得到了解。
其實母函數蘊含的就是一種映射關系。
那么是什么原因使得母函數具備了計數的法則呢，在骰子那道題中，通過求系數來對應方案數是一個例子。分析一下，對於一般的多項式，可以寫成
這種形式，展開后的某個冪次的系數可以分為兩部分，分別來自於兩個括號里的某一項，這實際上就是對應的乘法法則
所以實質上是多項式的乘法運算使母函數具有了計數能力。
“母函數就是一列用來展示一串數字序列的掛衣架”
——赫伯特·維爾夫