先來看幾個問題吧。
1.什么是樹狀數組？
顧名思義，就是用數組來模擬樹形結構唄。那么衍生出一個問題，為什么不直接建樹？答案是沒必要，因為樹狀數組能處理的問題就沒必要建樹。和Trie樹的構造方式有類似之處。
2.樹狀數組可以解決什么問題
可以解決大部分基於區間上的更新以及求和問題。
3.樹狀數組和線段樹的區別在哪里
樹狀數組可以解決的問題都可以用線段樹解決，這兩者的區別在哪里呢？樹狀數組的系數要少很多，就比如字符串模擬大數可以解決大數問題，也可以解決1+1的問題，但沒人會在1+1的問題上用大數模擬。
4.樹狀數組的優點和缺點
修改和查詢的復雜度都是O(logN)，而且相比線段樹系數要少很多，比傳統數組要快，而且容易寫。
缺點是遇到復雜的區間問題還是不能解決，功能還是有限。
一、樹狀數組介紹
二叉樹大家一定都知道，如下圖
如果每個父親都存的是兩個兒子的值，是不是就可以解決這類區間問題了呢。是的沒錯，但是這樣的樹形結構，叫做線段樹。
那真的的樹形結構是怎樣的，和上圖類似，但省去了一些節點，以達到用數組建樹。
黑色數組代表原來的數組（下面用A[i]代替），紅色結構代表我們的樹狀數組(下面用C[i]代替)，發現沒有，每個位置只有一個方框，令每個位置存的就是子節點的值的和，則有
- C[1] = A[1];
- C[2] = A[1] + A[2];
- C[3] = A[3];
- C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
- C[5] = A[5];
- C[6] = A[5] + A[6];
- C[7] = A[7];
- C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];
可以發現，這顆樹是有規律的
C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i]; //k為i的二進制中從最低位到高位連續零的長度
例如i = 8(1000)時候，k = 3，可自行驗證。
這個怎么實現求和呢，比如我們要找前7項和，那么應該是SUM = C[7] + C[6] + C[4];
而根據上面的式子，容易的出SUMi = C[i] + C[i-2k1] + C[(i - 2k1) - 2k2] + .....；
其實樹狀數組就是一個二進制上面的應用。
現在新的問題來了2^k該怎么求呢，不難得出2^k = i&(i^(i-1));但這個還是不好求出呀，前輩的智慧就出來了，2^k = i&(-i);
為什么呢？
這里利用的負數的存儲特性，負數是以補碼存儲的，對於整數運算 x&(-x)有
● 當x為0時，即 0 & 0，結果為0；
●當x為奇數時，最后一個比特位為1，取反加1沒有進位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位與結果為0。結果為1。
●當x為偶數，且為2的m次方時，x的二進制表示中只有一位是1（從右往左的第m+1位），其右邊有m位0，故x取反加1后，從右到左第有m個0，第m+1位及其左邊全是1。這樣，x& (-x) 得到的就是x。
●當x為偶數，卻不為2的m次方的形式時，可以寫作x= y * (2^k)。其中，y的最低位為1。實際上就是把x用一個奇數左移k位來表示。這時，x的二進制表示最右邊有k個0，從右往左第k+1位為1。當對x取反時，最右邊的k位0變成1，第k+1位變為0；再加1，最右邊的k位就又變成了0，第k+1位因為進位的關系變成了1。左邊的位因為沒有進位，正好和x原來對應的位上的值相反。二者按位與，得到：第k+1位上為1，左邊右邊都為0。結果為2^k。
總結一下：x&(-x)，當x為0時結果為0；x為奇數時，結果為1；x為偶數時，結果為x中2的最大次方的因子。
而且這個有一個專門的稱呼，叫做lowbit，即取2^k。
二、如何建立樹狀數組
上面已經解釋了如何用樹狀數組求區間和，那么如果我們要更新某一個點的值呢，還是一樣的，上面說了C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i]，那么如果我們更新某個A[i]的值，則會影響到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢，同理有
A[i] 包含於 C[i + 2k]、C[(i + 2k) + 2k]...；
好，現在已經搞清楚了更新和求和，就可以來建樹狀數組了。如果上面的求和、更新或者lowbit步驟還沒搞懂的化，建議再思考弄懂再往下看。
那么構造一個樹狀數組則為
1 int n; 2 int a[1005],c[1005]; //對應原數組和樹狀數組 3 4 int lowbit(int x){ 5 return x&(-x); 6 } 7 8 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k 9 while(i <= n){ 10 c[i] += k; 11 i += lowbit(i); 12 } 13 } 14 15 int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和 16 int res = 0; 17 while(i > 0){ 18 res += c[i]; 19 i -= lowbit(i); 20 } 21 return res; 22 }
這樣就構造了一個樹狀數組。下面看一道模板題目吧。
題目鏈接：https://vjudge.net/problem/HDU-1166
直接看代碼吧
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int n,m; 5 int a[50005],c[50005]; //對應原數組和樹狀數組 6 7 int lowbit(int x){ 8 return x&(-x); 9 } 10 11 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k 12 while(i <= n){ 13 c[i] += k; 14 i += lowbit(i); 15 } 16 } 17 18 int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和 19 int res = 0; 20 while(i > 0){ 21 res += c[i]; 22 i -= lowbit(i); 23 } 24 return res; 25 } 26 27 int main(){ 28 int t; 29 cin>>t; 30 for(int tot = 1; tot <= t; tot++){ 31 cout << "Case " << tot << ":" << endl; 32 memset(a, 0, sizeof a); 33 memset(c, 0, sizeof c); 34 cin>>n; 35 for(int i = 1; i <= n; i++){ 36 cin>>a[i]; 37 updata(i,a[i]); //輸入初值的時候，也相當於更新了值 38 } 39 40 string s; 41 int x,y; 42 while(cin>>s && s[0] != 'E'){ 43 cin>>x>>y; 44 if(s[0] == 'Q'){ //求和操作 45 int sum = getsum(y) - getsum(x-1); //x-y區間和也就等於1-y區間和減去1-(x-1)區間和 46 cout << sum << endl; 47 } 48 else if(s[0] == 'A'){ 49 updata(x,y); 50 } 51 else if(s[0] == 'S'){ 52 updata(x,-y); //減去操作，即為加上相反數 53 } 54 } 55 56 } 57 return 0; 58 }
這就是最簡單的點更新區間求和了。
三、樹狀數組的幾種變式(區間更新，區間查詢)
上面介紹的是最普通的單點更新，區間查詢，但如果有些時候是區間更新，單點求和怎么半，又或是區間更新，區間求和怎么辦。這里將介紹各種情況該怎么寫。
如果上面的單點更新，區間查詢還沒看懂，建議再思考再往下看。
1.單點更新、單點查詢
傳統數組可做
2.單點更新、區間查詢
已講解，詳細看上面
3.區間更新、單點查詢
這就是第一個問題，如果題目是讓你把x-y區間內的所有值全部加上k或者減去k，然后查詢操作是問某個點的值，這種時候該怎么做呢。如果是像上面的樹狀數組來說，就必須把x-y區間內每個值都更新，這樣的復雜度肯定是不行的，這個時候，就不能再用數據的值建樹了，這里我們引入差分，利用差分建樹。
假設我們規定A[0] = 0;
則有 A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])，即前面i項的差值和，這個有什么用呢？例如對於下面這個數組
- A[] = 1 2 3 5 6 9
- D[] = 1 1 1 2 1 3
如果我們把[2,5]區間內值加上2，則變成了
- A[] = 1 4 5 7 8 9
- D[] = 1 3 1 2 1 1
發現了沒有，當某個區間[x,y]值改變了，區間內的差值是不變的，只有D[x]和D[y+1]的值發生改變，至於為什么我想我就不用解釋了吧。
所以我們就可以利用這個性質對D[]數組建立樹狀數組，代碼為：
1 int n,m; 2 int a[50005] = {0},c[50005]; //對應原數組和樹狀數組 3 4 int lowbit(int x){ 5 return x&(-x); 6 } 7 8 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k 9 while(i <= n){ 10 c[i] += k; 11 i += lowbit(i); 12 } 13 } 14 15 int getsum(int i){ //求D[1 - i]的和，即A[i]值 16 int res = 0; 17 while(i > 0){ 18 res += c[i]; 19 i -= lowbit(i); 20 } 21 return res; 22 } 23 24 int main(){ 25 cin>>n;27 for(int i = 1; i <= n; i++){ 28 cin>>a[i]; 29 updata(i,a[i] - a[i-1]); //輸入初值的時候，也相當於更新了值 31 } 32 33 //[x,y]區間內加上k 34 updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k 35 updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]減少k 36 37 //查詢i位置的值 38 int sum = getsum(i); 39 40 return 0; 41 }
這樣就把，原來要更新一個區間的值變成了只需要更新兩個點。也很容易理解吧。
4.區間更新、區間查詢
上面我們說的差值建樹狀數組，得到的是某個點的值，那如果我既要區間更新，又要區間查詢怎么辦。這里我們還是利用差分，由上面可知
∑ni = 1A[i] = ∑ni = 1 ∑ij = 1D[j];
則A[1]+A[2]+...+A[n]
= (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n])
= n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]
= n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])
所以上式可以變為∑ni = 1A[i] = n*∑ni = 1D[i] - ∑ni = 1( D[i]*(i-1) );
如果你理解前面的都比較輕松的話，這里也就知道要干嘛了，維護兩個數狀數組，sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);
1 int n,m; 2 int a[50005] = {0}; 3 int sum1[50005]; //(D[1] + D[2] + ... + D[n]) 4 int sum2[50005]; //(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n]) 5 6 int lowbit(int x){ 7 return x&(-x); 8 } 9 10 void updata(int i,int k){ 11 int x = i; //因為x不變，所以得先保存i值 12 while(i <= n){ 13 sum1[i] += k; 14 sum2[i] += k * (x-1); 15 i += lowbit(i); 16 } 17 } 18 19 int getsum(int i){ //求前綴和 20 int res = 0, x = i; 21 while(i > 0){ 22 res += x * sum1[i] - sum2[i]; 23 i -= lowbit(i); 24 } 25 return res; 26 } 27 28 int main(){ 29 cin>>n; 30 for(int i = 1; i <= n; i++){ 31 cin>>a[i]; 32 updata(i,a[i] - a[i-1]); //輸入初值的時候，也相當於更新了值 33 } 34 35 //[x,y]區間內加上k 36 updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k 37 updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]減少k 38 39 //求[x,y]區間和 40 int sum = getsum(y) - getsum(x-1); 41 42 return 0; 43 }
再附贈兩道模板題目，可以自行寫一下以便理解
區間修改、單點查詢模板題目：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3368
區間修改、區間查詢模板題目：https://vjudge.net/problem/POJ-3468
PS：這里大致歸納了一維樹狀數組的所有要使用到的東西，二維建樹以及更多變式就不說了，具體問題再具體分析。
后記：自己看了一下寫的不是很好，特別是公式和圖，都是用簡單的畫圖和直接寫的，沒有用編輯器，也不能說我懶吧，畢竟精力有限啦，以后有空還是會去學的，帶給大家更好的博客。手敲也不易，希望大家理解，多多支持。
不懂問我噢= =