指數加權平均數（ Exponentially weighted averages）
指數加權平均，在統計中也叫做指數加權移動平均。
下面列舉出表示倫敦一年之中的溫度：
如果要計算趨勢的話，也就是溫度的局部平均值，或者說移動平均值：
先使：${v_0} = 0$，然后計算：
${v_1} = 0.9{v_0} + 0.1{\theta _1}$
${v_2} = 0.9{v_1} + 0.1{\theta _2}$
依次類推：
${v_t} = 0.9{v_{t - 1}} + 0.1{\theta _t}$
將移動平均值即每日溫度的指數加權平均值畫出來的效果是：
上面的計算更一般的形式是：
${v_t} = \beta {v_{t - 1}} + (1 - \beta ){\theta _t}$
${v_t}$可以理解為大概是$\frac{1}{{(1 - \beta )}}$ 的每日溫度，例如$\beta = 0.9$，可以理解為這是十天的平均值，也就是上圖紅線部分。
如果$\beta$接近於1，比如0.98，則$\frac{1}{{(1 - 0.98)}}$，大概計算過去 50 天的溫度，這時作圖可以得到綠線：
這種情況下曲線要平坦一些，原因在於你多平均了幾天的溫度，所以這個曲線，波動更小，更加平坦，缺點是曲線進一步右移，因為現在平均的溫度值更多，要平均更多的值，指數加權平均公式在溫度變化時，適應地更緩慢一些，所以會出現一定延遲。$\frac{1}{{(1 - 0.98)}}$，相當於給前一天的值加了太多權重，只有 0.02 的權重給了當日的值。
如果$\frac{1}{{(1 - 0.5)}}$，平均了兩天的溫度，這時作圖黃線所示：
由於僅平均了兩天的溫度，平均的數據太少，所以得到的曲線有更多的噪聲，有可能出現異常值，但是這個曲線能夠更快適應溫度變化。
參數$\beta$，是一個很重要的參數，可以取得稍微不同的效果，往往中間有某個值效果最好，在本例中紅線比起綠線和黃線更好地平均了溫度。
理解指數加權平均數（Understanding exponentially weighted averages）
將公式${v_t} = 0.9{v_{t - 1}} + 0.1{\theta _t}$倒着寫：
${v_{100}} = 0.9{v_{99}} + 0.1{\theta _{100}}$
${v_{99}} = 0.9{v_{98}} + 0.1{\theta _{99}}$
${v_{98}} = 0.9{v_{97}} + 0.1{\theta _{98}}$
依次類推。。。
進一步展開可以表示為：
${v_{100}} = 0.1{\theta _{100}} + 0.1*0.9{\theta _{99}} + 0.1*{(0.9)^2}{\theta _{98}} + 0.1*{(0.9)^3}{\theta _{97}} + 0.1*{(0.9)^4}{\theta _{96}} + ......$
第 100 天計算的數據是一個總和，包括100號數據，99號數據，98號數據等等。
假設我們有一組數據，例如100天中每天的溫度，畫圖表示：
然后我們構建一個指數衰減函數，從 0.1 開始，到$0.1*0.9$，到$0.1*{(0.9)^2}$，以此類推，所以就有了這個指數衰減函數，畫圖表示：
此時計算${v_{100}}$，只需要將兩組數據對應相乘再求和即可。所有的系數相加起來為 1 或者逼近 1，我們稱之為偏差修正。
需要平均多少天的溫度的計算思路：
${(0.9)^{10}} \approx 0.35$，這個值大概是$\frac{1}{e}$，也就是說：
$\varepsilon {\rm{ = }}0.1$，${(1 - \varepsilon )^{\frac{1}{{(1 - \varepsilon )}}}} \approx \frac{1}{e}$大約是 0.34， 0.35，換句話說， 10 天后，曲線的高度下降到$\frac{1}{3}$相當於在峰值的$\frac{1}{e}$。
所以當$\beta = 0.9$，也即$\varepsilon = 1 - \beta $時只關注了過去 10天的溫度，因為 10 天后，權重下降到不到當日權重的三分之一。
所以估算大約平均多少天的溫度時，我們使用公式：$\frac{1}{{1 - \beta }}$
不過這只是思考的大致方向，並不是正式的數學證明。
在實際計算時，我們可以使用：$v: = \beta v + (1 - \beta ){\theta _t}$
指數加權平均數公式的好處之一在於，它占用極少內存，電腦內存中只占用一行數字而已，然后把最新數據代入公式，不斷覆蓋就可以了。
計算指數加權平均數也只占用單行數字的存儲和內存，當然它並不是最好的，也不是最精准的計算平均數的方法。如果你要計算移動窗，你直接算出過去 10 天的總和，過去 50 天的總和，除以 10 和 50 就好，如此往往會得到更好的估測。但缺點是，如果保存所有最近的溫度數據，和過去 10 天的總和，必須占用更多的內存，執行更加復雜，計算成本也更加高昂。