算法：並查集

快速掌握

理解算法

　　在計算機科學中，並查集是一種樹型的數據結構，用於處理一些不交集（Disjoint Sets）的合並及查詢問題。有一個聯合-查找算法（union-find algorithm）定義了兩個用於此數據結構的操作：

• Find：確定元素屬於哪一個子集。這個確定方法就是不斷向上查找找到它的根節點，它可以被用來確定兩個元素是否屬於同一子集。
• Union：將兩個子集合並成同一個集合。

　　由於支持這兩種操作，一個不相交集也常被稱為聯合-查找數據結構（union-find data structure）或合並-查找集合（merge-find set）。其他的重要方法，MakeSet，用於建立單元素集合。有了這些方法，許多經典的划分問題可以被解決。

　　為了更加精確的定義這些方法，需要定義如何表示集合。一種常用的策略是為每個集合選定一個固定的元素，稱為代表，以表示整個集合。接着，Find(x) 返回 x 所屬集合的代表，而 Union 使用兩個集合的代表作為參數。

　　

 

說明：左邊是A，筆誤！

　　上圖中簡單演示了並查集的兩個操作，一個是FIND，一個UNION。

並查集(樹)

　　並查集（樹）是一種將一個集合以樹形結構進行組合的數據結構，如上圖所示。其中每一個節點保存着到它的父節點的引用（

　　在並查集樹中，每個集合的代表即是集合的根節點。

• “查找”根據其父節點的引用向根行進直到到底樹根。
• “聯合”將兩棵樹合並到一起，這通過將一棵樹的根連接到另一棵樹的根。

　　實現這樣操作的偽代碼如下：

 function MakeSet(x)
     x.parent := x

 function Find(x)
     if x.parent == x
        return x
     else
        return Find(x.parent)

 function Union(x, y)
     xRoot := Find(x)
     yRoot := Find(y)
     xRoot.parent := yRoot

　　這是並查集樹林的最基礎的表示方法，這個方法不會比鏈表法好，這是因為創建的樹可能會嚴重不平衡；然而，可以用兩種辦法優化。

優化方法一：按秩合並

　　第一種方法，稱為“按秩合並”，即總是將更小的樹連接至更大的樹上。因為影響運行時間的是樹的深度，更小的樹添加到更深的樹的根上將不會增加秩除非它們的秩相同。在這個算法中，術語“秩”替代了“深度”，因為同時應用了路徑壓縮時（見下文）秩將不會與高度相同。單元素的樹的秩定義為0，當兩棵秩同為r的樹聯合時，它們的秩r+1。只使用這個方法將使最壞的運行時間提高至每個MakeSet、Union或Find操作、。

優化后的MakeSet和Union偽代碼：

 function MakeSet(x)
     x.parent := x
     x.rank   := 0

 function Union(x, y)
     xRoot := Find(x)
     yRoot := Find(y)
     if xRoot == yRoot
         return

     // x和y不在同一個集合，合並它們。
     if xRoot.rank < yRoot.rank
         xRoot.parent := yRoot
     else if xRoot.rank > yRoot.rank
         yRoot.parent := xRoot
     else
         yRoot.parent := xRoot
         xRoot.rank := xRoot.rank + 1　　

優化方法二：路徑壓縮 

　　第二個優化，稱為“路徑壓縮”，是一種在執行“查找”時扁平化樹結構的方法。關鍵在於在路徑上的每個節點都可以直接連接到根上；他們都有同樣的表示方法。為了達到這樣的效果，Find遞歸地經過樹，改變每一個節點的引用到根節點。得到的樹將更加扁平，為以后直接或者間接引用節點的操作加速。

　　

這兒是Find：

 function Find(x)
     if x.parent != x
        x.parent := Find(x.parent)
     return x.parent　　

　　這兩種方法的優勢互補，同時使用二者的程序每個操作的平均時間僅為，是的反函數，其中是急速增加的阿克曼函數。因為是其的反函數，故在十分巨大時還是小於5。因此，平均運行時間是一個極小的常數。

　　實際上，這是漸近最優算法：Fredman和Saks在1989年解釋了的平均時間內可以獲得任何並查集。

 

並查集算法-Java實現

package search;

public class UnionFindSet {
    private int[] parents_;
    private int[] ranks_;

    public UnionFindSet(int n)
    {
        parents_ = new int[n+1];
        ranks_ = new int[n+1];
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            parents_[i]=i;
            ranks_[i]=i;
        }
    }

    public boolean Union(int u,int v)
    {
        int pu = Find(u);
        int pv = Find(v);
        if(pu==pv)
            return false;
        if (ranks_[pv] > ranks_[pu])
            parents_[pu] = pv;
        else if (ranks_[pu] > ranks_[pv])
            parents_[pv] = pu;
        else {
            parents_[pv] = pu;
            ranks_[pu] += 1;
        }
        return true;
    }

    public int Find(int u)
    {
        while (parents_[u]!=u)
        {
            parents_[u]=parents_[parents_[u]];
            u=parents_[u];
        }
        return u;
    }

}

 

主要操作

合並兩個不相交集合

　　操作很簡單：先設置一個數組(陣列)Father[x]，表示x的“父親”的編號。 那么，合並兩個不相交集合的方法就是，找到其中一個集合最父親的父親（也就是最久遠的祖先），將另外一個集合的最久遠的祖先的父親指向它。

void Union(int x,int y)
{
    fx = getfather(x);
    fy = getfather(y);
    if(fy!=fx)
       father[fx]=fy;
}

判斷兩個元素是否屬於同一集合

　　仍然使用上面的數組。則本操作即可轉換為尋找兩個元素的最久遠祖先是否相同。尋找祖先可以采用遞歸實現，見后面的路徑壓縮算法。

bool same(int x,int y)
{
   return getfather(x)==getfather(y);
}
/*返回true 表示相同根結點，返回false不相同*/