目錄
一、關於並查集
1. 定義
並查集(Disjoint-Set)是一種可以動態維護若干個不重疊的集合，並支持合並與查詢兩種操作的一種數據結構。
2. 基本操作
1. 合並(Union/Merge)[1]：合並兩個集合。
2. 查詢(Find/Get)：查詢元素所屬集合。
實際操作時，我們會使用一個點來代表整個集合，即一個元素的根結點(可以理解為父親)。
3. 具體實現
我們建立一個數組fa[ ]或pre[ ]表示一個並查集，fa[i]表示i的父節點。
初始化：每一個點都是一個集合，因此自己的父節點就是自己fa[i]=i
查詢：每一個節點不斷尋找自己的父節點，若此時自己的父節點就是自己，那么該點為集合的根結點，返回該點。
修改：合並兩個集合只需要合並兩個集合的根結點，即fa[RootA]=RootB，其中RootA,RootB是兩個元素的根結點。
路徑壓縮：
實際上，我們在查詢過程中只關心根結點是什么，並不關心這棵樹的形態(有一些題除外)。因此我們可以在查詢操作的時候將訪問過的每個點都指向樹根，這樣的方法叫做路徑壓縮，單次操作復雜度為\(O(logN)\)。
結合下圖食用更好(圖為狀態壓縮的過程)：
二、代碼實現
初始化的模板：
for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=i;
查詢的模板(含路徑壓縮)：
int Find(int x){
if(x==pre[x]) return x;
return pre[x]=Find(pre[x]);
}
合並的模板：
void merge(int x,int y){
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy) pre[fx]=fy;
}
//主函數內
merge(a,b);
三、一些例題
例1：P1551 親戚
模板題。這里就不放代碼了...
同樣是模板題：P2814 家譜，建議使用map(STL)。
例2：P1536 村村通
求出讓所有道路聯通時要建多少條道路。
我們先把已經建好的道路的點合並，如果還需要建道路，那么所有點組成的集合數量一定大於1。
我們只要查詢是否單個點組成了一個集合，即詢問一個點的父節點是否為本身。
值得注意的是最終合並為一個集合中的根結點的父節點也是其本身，我們最后輸出答案的時候要減掉。
Code：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pre[1000001],n,m,ans;
inline int Find(int x){
return pre[x]==x?x:pre[x]=Find(pre[x]);
}
inline void Union(int x, int y){
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy) pre[fx]=fy;
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n)&&n){
ans=0;
scanf("%d", &m);
for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=i;
for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
Union(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(Find(i)==i) ans++;
}
printf("%d\n",ans-1);
}
return 0;
}
例3：P1396 營救
FBI！Open UP！看到求最大值的最小我們知道一定會用二分解決。
順着這個思路走，我們可以二分這個擁擠度，在判斷這個擁擠度是否可行時，把所有擁擠度大於mid的邊都去掉，最后並查集判斷s點與t點是否聯通即可。
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 50050
using namespace std;
int l=INF,r=-1,n,m,s,t,ans;
int pre[N],x[N],y[N],cost[N];
inline int find(int x){return x==pre[x]?x:pre[x]=find(pre[x]);}
inline int check(int mid){
for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(cost[i]>mid) continue;
int fx=find(x[i]),fy=find(y[i]);
if(fx!=fy) pre[fx]=fy;
}
if(find(s)==find(t)) return 1;
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&cost[i]);
l=min(l,cost[i]);r=max(r,cost[i]);
}
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)){
r=mid-1;
ans=mid;
}
else l=mid+1;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
例4：P1621 集合
把所有質因數大於p的數都求出來合並，最后並查集求解。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int a,b,cmp,ans,cnt;
int pre[N],notp[N],p[N];
int Find(int x){
if(x==pre[x]) return x;
return pre[x]=Find(pre[x]);
}
inline int Union(int x,int y){
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy) pre[fx]=fy;
}
inline void E_prime(){
notp[1]=1;
for(int i=2;i<=b;i++){
if(notp[i]) continue;
for(int j=i*2;j<=b;j+=i){
notp[j]=1;
}
}
for(int i=cmp;i<=b;i++)
if(not notp[i]) p[++cnt]=i;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&cmp);
for(int i=a;i<=b;i++) pre[i]=i;
E_prime();
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=2;j*p[i]<=b;j++)
if(j*p[i]>=a&&(j-1)*p[i]>=a)
Union(p[i]*j,p[i]*(j-1));
for(int i=a;i<=b;i++)
if(pre[i]==i) ans++;
printf("%d",ans);
return 0;
}
例5：P4185 [USACO18JAN]MooTube
把K和邊權從大往小排序，這樣大的K也滿足小的K，避免了重復搜索。
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 300010
using namespace std;
int n,q,fa[N],size[N],ans[N];
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void Union(int x,int y){
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx==fy) return;
size[fx]+=size[fy],fa[fy]=fx;
}
struct edge{
int u,v,r;
}p[N];
struct node{
int k,v,id;
}ask[N];
inline int CMP(edge a,edge b){return a.r>b.r;}
inline int cmp(node a,node b){return a.k>b.k;}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<n;i++)
scanf("%d%d%d",&p[i].u,&p[i].v,&p[i].r);
for(int i=1;i<=q;i++)
scanf("%d%d",&ask[i].k,&ask[i].v),ask[i].id=i;
for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;size[i]=1;}
sort(p+1,p+n,CMP);
sort(ask+1,ask+q+1,cmp);
int pos=1;
for(int i=1;i<=q;i++){
while(pos<n&&p[pos].r>=ask[i].k){
Union(p[pos].u,p[pos].v);
pos++;
}
ans[ask[i].id]=size[find(ask[i].v)]-1;
}
for(int i=1;i<=q;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
例6：P1197 [JSOI2008]星球大戰
題目要求求出每次打擊后圖中連通塊的個數。並查集可以進行合並操作，卻不能進行分離操作，所以我們倒序處理。先聯通沒有被炸的點並統計出此時連通塊的個數，接着不斷合並被炸的點並統計此時的連通塊個數。
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 400010
using namespace std;
int n,m,k,pre[N],first[N],nxt[N],go[N];
int poi[N],off[N],tot,from[N],sum,ans[N];
inline void add_edge(int u,int v){
nxt[++tot]=first[u];
first[u]=tot;
go[tot]=v;
from[tot]=u;
}
inline int Find(int x){
return x==pre[x]?x:pre[x]=Find(pre[x]);
}
inline void Union(int x,int y){
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy) pre[fx]=fy;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=i;
for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
add_edge(x,y);
add_edge(y,x);
}
scanf("%d",&k);
for(int i=1;i<=k;i++){
scanf("%d",&poi[i]);
off[poi[i]]=1;//標記
}
sum=n-k;//剩余的點
for(int i=1;i<=m<<1;i++)//雙向邊
if(!off[from[i]]&&!off[go[i]])//兩個點都沒被炸
if(Find(from[i])!=Find(go[i]))
sum--,Union(from[i],go[i]);//合並，更新連通塊個數
ans[k+1]=sum;//最后一個答案
for(int i=k;i>=1;i--){
sum++;//恢復這個點后自己也算一個連通塊，因此個數要+1
off[poi[i]]=0;//恢復
for(int e=first[poi[i]];e;e=nxt[e]){
int v=go[e];
if(!off[v]&&Find(poi[i])!=Find(v)){
Union(poi[i],v);//合並
sum--;
}
}
ans[i]=sum;
}
for(int i=1;i<=k+1;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
例7：bzoj2054瘋狂的饅頭
我們發現最后滿頭染上的顏色只與他最后一次被染上的顏色有關，因此我們倒着處理，這時我們需要維護已經染好的饅頭不會再被染色。從區間的左向右依次掃描，尋找這個點的父親，此時這個父親就是還沒有被填上顏色的節點(如果這個父親節點仍在區間里)，我們把這個點染色並標記這個點指向下一個節點。簡明的來講，就是當我們想對一個點染色時，這個點會把我們帶到另一個沒有染色的點來染色。
#include<bits/stdc++.h>//每次掃描的元素被染色后指向其沒有被染色的饅頭
#define N 1000010 //路徑壓縮以節省時間
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,p,q;
int pre[N],ans[N];
inline int Find(int x){
return (pre[x]==x)? x:pre[x]=Find(pre[x]);
}
inline void Dye_mantou(ll l,ll r,int color)
{
for(int i=Find(l);i<=r;i=Find(i)){ //方向指向數組末尾
ans[i]=color;
pre[i]=i+1;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
for(int i=1;i<=n+1;i++) pre[i]=i;
for(int i=m;i>=1;i--){
ll l=(i*p+q)%n+1;
ll r=(i*q+p)%n+1;
if(l>r) swap(l,r);
Dye_mantou(l,r,i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
例8：P2294 [HNOI2005]狡猾的商人
帶權並查集。通過並查集建立月份與月份的關系。
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int n,m,w;
int pre[N],d[N];
int Find(int x){
if(pre[x]==x) return x;
int temp=Find(pre[x]);
d[x]+=d[pre[x]];
return pre[x]=temp;
}
int Union(int x,int y,int v)
{
int fx=Find(x);
int fy=Find(y);
if(fx==fy)
return d[x]-d[y]==v;
if(fx<fy){
pre[fx]=fy;
d[fx]=d[y]+v-d[x];
return 1;
}
else{
pre[fy]=fx;
d[fy]=d[x]-v-d[y];
return 1;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&w);
while(w--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int flag=1;
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=0;i<=n;i++) pre[i]=i;
for(int i=1,s,t,v;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&s,&t,&v);
if(flag==0) continue;
if(!Union(s-1,t,v)) flag=0;//包含s月，所以往前一個月為s-1
}
if(flag) printf("true\n");
else printf("false\n");
}
return 0;
}
例9：P1892 [BOI2003]團伙
題目的兩種關系已經說得很明確了，我們將朋友關系的兩個人合並。對於是敵人關系的兩個人，由於敵人的敵人是我的朋友，所以我們可以建立一個自己虛擬的敵人再與對方形成朋友關系。
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 6000
using namespace std;
int n,m,ans,pre[N];
char ch;
int Find(int x){
return (x==pre[x])? x:pre[x]=Find(pre[x]);
}
inline void Union(int x,int y){
int fx=Find(x);
int fy=Find(y);
pre[fx]=fy;
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=2*n;i++) pre[i]=i;
for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
cin>>ch>>u>>v;
if(ch=='F') Union(u,v);
if(ch=='E'){
pre[Find(u+n)]=Find(v);
pre[Find(v+n)]=Find(u);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(pre[i]==i) ans++;
printf("%d",ans);
return 0;
}
怎么起名都無所謂啦 ↩︎