線性插值法的原理和python代碼實現

假設我們已知坐標 (x₀, y₀) 與 (x₁, y₁)，要得到 [x₀, x₁] 區間內某一位置 x 在直線上的值。根據圖中所示，我們得到

由於 x 值已知，所以可以從公式得到 y 的值

已知 y 求 x 的過程與以上過程相同，只是 x 與 y 要進行交換。

 python的代碼實現：

 

import matplotlib.pyplot as plt

"""
@brief:   計算n階差商 f[x0, x1, x2 ... xn]
@param:   xi   所有插值節點的橫坐標集合                                                        o
@param:   fi   所有插值節點的縱坐標集合                                                      /   \
@return:  返回xi的i階差商(i為xi長度減1)                                                     o     o
@notice:  a. 必須確保xi與fi長度相等                                                        / \   / \
          b. 由於用到了遞歸，所以留意不要爆棧了.                                           o   o o   o
          c. 遞歸減遞歸(每層遞歸包含兩個遞歸函數), 每層遞歸次數呈二次冪增長，總次數是一個滿二叉樹的所有節點數量(所以極易棧溢出)                                                                                    
"""
def get_order_diff_quot(xi = [], fi = []):
    if len(xi) > 2 and len(fi) > 2:
        return (get_order_diff_quot(xi[:len(xi) - 1], fi[:len(fi) - 1]) - get_order_diff_quot(xi[1:len(xi)], fi[1:len(fi)])) / float(xi[0] - xi[-1])
    return (fi[0] - fi[1]) / float(xi[0] - xi[1])




"""
@brief:  獲得Wi(x)函數;
         Wi的含義舉例 W1 = (x - x0); W2 = (x - x0)(x - x1); W3 = (x - x0)(x - x1)(x - x2)
@param:  i  i階(i次多項式)
@param:  xi  所有插值節點的橫坐標集合
@return: 返回Wi(x)函數
"""
def get_Wi(i = 0, xi = []):
    def Wi(x):
        result = 1.0
        for each in range(i):
            result *= (x - xi[each])
        return result
    return Wi




"""
@brief: 獲得牛頓插值函數
@
"""
def get_Newton_inter(xi = [], fi = []):
    def Newton_inter(x):
        result = fi[0]
        for i in range(2, len(xi)):
            result += (get_order_diff_quot(xi[:i], fi[:i]) * get_Wi(i-1, xi)(x))
        return result
    return Newton_inter



"""
demo:
"""
if __name__ == '__main__':

    ''' 插值節點, 這里用二次函數生成插值節點，每兩個節點x軸距離位10 '''
    sr_x = [i for i in range(-50, 51, 10)]
    sr_fx = [i**2 for i in sr_x]

    Nx = get_Newton_inter(sr_x, sr_fx)            # 獲得插值函數

    tmp_x = [i for i in range(-50, 51)]          # 測試用例
    tmp_y = [Nx(i) for i in tmp_x]               # 根據插值函數獲得測試用例的縱坐標

    ''' 畫圖 '''
    plt.figure("I love china")
    ax1 = plt.subplot(111)
    plt.sca(ax1)
    plt.plot(sr_x, sr_fx, linestyle = '', marker='o', color='b')
    plt.plot(tmp_x, tmp_y, linestyle = '--', color='r')
    plt.show()
~                                                                                                                                                                                                                                                                                  
~                                                                                                                                                                                                                                                                                  
"linear_test.py" 81L, 2764C written                                                                                                                                                                                                                              45,5          Bot

 

 

 

參考文檔：

1 https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_interpolation

2 https://www.cnblogs.com/zhangte/p/6078544.html