在對圖像進行空間變換的過程中，典型的情況是在對圖像進行放大處理的時候，圖像會出現失真的現象。這是由於在變換之后的圖像中，存在着一些變換之前的圖像中沒有的像素位置。為了說明這個問題，不妨假設有一副大小為64x64的灰度圖像A，現在將圖像放大到256x256，不妨令其為圖像B，如圖1所示。顯然，根據簡單的幾何換算關系，可以知道B圖像中(x,y)處的像素值應該對應着A圖像中的(x/4,y/4)處的象素值，即
B(x,y) = A(x/4,y/4) （式1）
對於B中的(4,4),(4,8),(4,16)…(256,256)這些位置，通過式1就可以計算出其在A中的位置，從而可以得到灰度值。但是，對於B中的(1,1),(1,2),(1,3)…等等這些坐標點而言，如果按照式1計算的話，那么它們在A中對應的坐標不再是整數。比如，對於B中的坐標點(1,1)，其在A中的對應坐標就變成了(0.25,0.25)。對於數字圖像而言，小數坐標是沒有意義的。因此，必須考慮采用某種方法來得到B中像素點在A中對應位置上的灰度級。處理這一問題的方法被稱為圖像灰度級插值。常用的插值方式有三種：最近鄰域插值、雙線性插值、雙三次插值。理論上來講，最近鄰域插值的效果最差，雙三次插值的效果最好，雙線性插值的效果介於兩者之間。不過對於要求不是非常嚴格的圖像插值而言，使用雙線性插值通常就足夠了。
本文中將采用matlab實現一個雙線性插值的程序。雙線性插值的原理如圖2所示。圖像之間坐標映射有兩種方式：如果是從原圖像的坐標映射到目標圖像，稱為前向映射，反之則稱為后向映射。顯然，雙線性插值采用的是后向映射方式。下面對圖2的具體含義進行說明。首先，根據幾何關系，從B圖像中的坐標(x,y)得到A圖像中的坐標(x/4,y/4)，但是，映射得到的這個坐標(x/4,y/4)並沒有剛好位於A圖像中的整數坐標上，而是映射到了四個像素坐標(a,b)、(a+1,b)、(a,b+1)、(a+1,b+1)所圍成的矩形之間，其中，a、b是A圖像的整數坐標。現在的問題就是如何根據A(a,b)、A(a+1,b)、A(a,b+1)、A(a+1,b+1)這四個點上的灰度級求出A(x/4,y/4)處的灰度級。雙線性插值技術采用的方法是：假設A圖像的灰度級變化在縱向方向上是線性變化的，這樣根據直線方程或者幾何比例關系就能夠求得(a,y/4)和(a+1,y/4)坐標處的灰度級A(a,y/4)和A(a+1,y/4)。然后，再假設在((a,y/4),A(a,y/4))和(a+1,y/4),A(a+1,y/4))這兩點所確定的直線上，灰度級仍然是線性變化的。求出直線方程，於是就可以求得(x/4,y/4)處的灰度級A(x/4,y/4)。這就是雙線性插值的基本思路。其中用到的兩個基本假設是：首先灰度級在縱向方向上是線性變化的，然后假定灰度級在橫向方向上也是線性變化的。
圖1 圖像縮放示意圖
圖2 雙線性插值示意圖
附錄:
I=imread('image1.bmp');
[m,n]=size(I);
K=3;
width = K * m;
height = K * n;
J = uint8(zeros(width,height));
% width scale and height scale
widthScale = m/width;
heightScale = n/height;
% bilinear interplot
for x = 5:width - 5
for y = 5:height - 5
xx = x * widthScale;
yy = y * heightScale;
if (xx/double(uint16(xx)) == 1.0) & (xx/double(uint16(xx)) == 1.0)
J(x,y) = I(int16(xx),int16(yy));
else % a or b is not integer
a = double(uint16(xx)); % (a,b) is the base-dot
b = double(uint16(yy));
x11 = double(I(a,b)); % x11 <- I(a,b)
x12 = double(I(a,b+1)); % x12 <- I(a,b+1)
x21 = double(I(a+1,b)); % x21 <- I(a+1,b)
x22 = double(I(a+1,b+1)); % x22 <- I(a+1,b+1)
J(x,y) = uint8( (b+1-yy) * ((xx-a)*x21 + (a+1-xx)*x11) + (yy-b) * ((xx-a)*x22 +(a+1-xx) * x12)); % calculate J(x,y)
end
end
end
% 顯示圖像
imwrite(J, '放大的圖像.jpg', 'jpg');
imshow(I),title('原圖');
figure
imshow(J),title('放大圖');
I=imread('image1.bmp');
[m,n]=size(I);
K=3;
width = K * m;
height = K * n;
J = uint8(zeros(width,height));
% width scale and height scale
widthScale = m/width;
heightScale = n/height;
% bilinear interplot
for x = 5:width - 5
for y = 5:height - 5
xx = x * widthScale;
yy = y * heightScale;
if (xx/double(uint16(xx)) == 1.0) & (xx/double(uint16(xx)) == 1.0)
J(x,y) = I(int16(xx),int16(yy));
else % a or b is not integer
a = double(uint16(xx)); % (a,b) is the base-dot
b = double(uint16(yy));
x11 = double(I(a,b)); % x11 <- I(a,b)
x12 = double(I(a,b+1)); % x12 <- I(a,b+1)
x21 = double(I(a+1,b)); % x21 <- I(a+1,b)
x22 = double(I(a+1,b+1)); % x22 <- I(a+1,b+1)
J(x,y) = uint8( (b+1-yy) * ((xx-a)*x21 + (a+1-xx)*x11) + (yy-b) * ((xx-a)*x22 +(a+1-xx) * x12)); % calculate J(x,y)
end
end
end
% 顯示圖像
imwrite(J, '放大的圖像.jpg', 'jpg');
imshow(I),title('原圖');
figure
imshow(J),title('放大圖');