轉載自CSDN博客：https://blog.csdn.net/huang_miao_xin/article/details/51331710
定義：約數只有1和本身的整數稱為質數，或稱素數。
計算機或者相關專業，基本上大一新生開始學編程都會接觸的一個問題就是判斷質數，下面分享幾個判斷方法，從普通到高效。
1）直觀判斷法
最直觀的方法，根據定義，因為質數除了1和本身之外沒有其他約數，所以判斷n是否為質數，根據定義直接判斷從2到n-1是否存在n的約數即可。C++代碼如下：
bool isPrime_1( int num )
{
int tmp =num- 1;
for(int i= 2;i <=tmp; i++)
if(num %i== 0)
return 0 ;
return 1 ;
}
2)直觀判斷法改進
上述判斷方法，明顯存在效率極低的問題。對於每個數n，其實並不需要從2判斷到n-1，我們知道，一個數若可以進行因數分解，那么分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述代碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因為若sqrt(n)左側找不到約數，那么右側也一定找不到約數。
C++代碼如下：
C++代碼如下：
-
bool isPrime_2( int num )
-
{
-
int tmp =
sqrt( num);
-
for(
int i=
2;i <=tmp; i++)
-
if(num %i==
0)
-
return
0 ;
-
return
1 ;
-
}
3）另一種方法
方法（2）應該是最常見的判斷算法了，時間復雜度O(sqrt(n))，速度上比方法（1）的O(n)快得多。最近在網上偶然看到另一種更高效的方法，暫且稱為方法（3）吧，由於找不到原始的出處，這里就不貼出鏈接了，如果有原創者看到，煩請聯系我，必定補上版權引用。下面講一下這種更快速的判斷方法；
首先看一個關於質數分布的規律：大於等於5的質數一定和6的倍數相鄰。例如5和7，11和13,17和19等等；
證明：令x≥1，將大於等於5的自然數表示如下：······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······
可以看到，不在6的倍數兩側，即6x兩側的數為6x+2，6x+3，6x+4，由於2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它們一定不是素數，再除去6x本身，顯然，素數要出現只可能出現在6x的相鄰兩側。這里有個題外話，關於孿生素數，有興趣的道友可以再另行了解一下，由於與我們主題無關，暫且跳過。**這里要注意的一點是，在6的倍數相鄰兩側並不是一定就是質數**。
此時判斷質數可以6個為單元快進，即將方法（2）循環中i++步長加大為6，加快判斷速度，原因是，假如要判定的數為n，則n必定是6x-1或6x+1的形式，對於循環中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被
6i，6i+2，6i+4整除，則n至少得是一個偶數，但是6x-1或6x+1的形式明顯是一個奇數，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，則n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。綜上，循環中只需要考慮6i-1和6i+1的情況，即循環的步長可以定為6，每次判斷循環變量k和k+2的情況即可，理論上講整體速度應該會是方法（2）的3倍。 代碼如下： ``` bool isPrime_3( int num ) { //兩個較小數另外處理 if(num ==2|| num==3 ) return 1 ; //不在6的倍數兩側的一定不是質數 if(num %6!= 1&&num %6!= 5) return 0 ; int tmp =sqrt( num); //在6的倍數兩側的也可能不是質數 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 ) if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 ) return 0 ; //排除所有，剩余的是質數 return 1 ; } ``` > 這邊為什么是5開始取？為什么不是7？這邊還有個邏輯上的取舍 從5、7開始的區別在於i <= sqrt(num)..如果是5的話，判斷條件為25；如果是7的話，判斷的條件就為49。 而仔細觀察49內的所有質數，發現25之前的質數都是6k左右的數(6k-1,6k+1)，而25以后，就不定都有了。如26則不為質數。 所以如果從5開始的話，那么25以內的數 都不會進入for循環，經過`if(num %6!= 1&&num %6!= 5)`的篩選后，就都是素數了。 而如果是從7開始，那么25-49之內的數不符合條件卻不會進入for循環，所以26缺少這個for的循環判斷后就被誤判為素數了。 ==>以我淺薄的數學見識理解，25以內素數規律的巧合性使得 這些數不需要進入for循環判斷，所以相比於從7開始的錯誤，5開始是正確的
算法性能測試：
編寫測試代碼，使用較多數據測試比較幾種方法的判斷效率，數據量40w，代碼如下：
#include <iostream>
#include <string>
#include <ctime>
#include <vector>
using namespace std;
bool isPrime_1( int num );
bool isPrime_2( int num );
bool isPrime_3( int num );
int main()
{
int test_num =400000;
int tstart ,tstop; //分別記錄起始和結束時間
//測試第一個判斷質數函數
tstart=clock ();
for(int i= 1;i <=test_num; i++)
isPrime_1(i );
tstop=clock ();
cout<<"方法(1)時間(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;//ms為單位
//測試第二個判斷質數函數
tstart=clock ();
for(int i= 1;i <=test_num; i++)
isPrime_2(i );
tstop=clock ();
cout<<"方法(2)時間(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
//測試第三個判斷質數函數
tstart=clock ();
for(int i= 1;i <=test_num; i++)
isPrime_3(i );
tstop=clock ();
cout<<"方法(3)時間(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
cout<<endl ;
system("pause" );
return 0 ;
}
運行結果如下；
可以看出，判斷到40w，效率上方法（1）明顯要差得多，方法（2）和方法（3）在這種測試數量下時間相差2倍多
單獨對比方法（2）和（3），數據量加到1000w，結果如下：
可以看出，方法（2）和方法（3）在這種測試數量下時間相差依然是2倍多，不過已經是很不錯的提升。
對了，附上運行環境，CPU-i5-3210，內存4G，win7，vs2012。