【HDU4336】Card Collector（Min-Max容斥）

題面

Vjudge

題解

原來似乎寫過一種狀壓的做法，然后空間復雜度很不優秀。
今天來補一種神奇的方法。

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給定集合\(S\)，設\(max\{S\}\)為\(S\)中的最大值，\(min\{S\}\)為集合\(S\)中的最小值。
那么我們可以得到：
\(max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}min\{T\}\)
證明的話，大概就是如果你欽定一個最小值，並且它強制出現，
如果枚舉所有子集，不難證明除了最大值之外，任何一個數的出現次數都是\(2^k\)的形式。
並且子集大小的奇偶性一一對應。因此，除了最大值之外，任何一個值的貢獻全部會互相抵消，最后剩下的值就只有最大值。

對於期望而言這樣做也是正確的。

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回到這道題目，我們\(max\{S\}\)表示集合中最晚出現的元素，\(min\)同理。
\(E(max\{S\})\)表示出現時間的期望。
那么我們要求的是\(E(max\{\)全集\(\})\)，那么利用\(min-max\)容斥，有：
\(E(max\{S\})=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min\{T\})\)
而\(E(min\{T\})=\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i}\)
那么枚舉子集，直接\(dfs\)實現就好了

#include<cstdio>
int n;
double p[20],ans;
void dfs(int x,double e,int opt)
{
	if(x>=n){if(e>1e-7)ans+=opt/e;return;}
	dfs(x+1,e,opt);dfs(x+1,e+p[x],-opt);
}
int main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lf",&p[i]);
		ans=0;dfs(0,0,-1);
		printf("%.6lf\n",ans);
	}
}