【HDU4336】Card Collector（Min-Max容斥）

题面

Vjudge

题解

原来似乎写过一种状压的做法，然后空间复杂度很不优秀。
今天来补一种神奇的方法。

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给定集合\(S\)，设\(max\{S\}\)为\(S\)中的最大值，\(min\{S\}\)为集合\(S\)中的最小值。
那么我们可以得到：
\(max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}min\{T\}\)
证明的话，大概就是如果你钦定一个最小值，并且它强制出现，
如果枚举所有子集，不难证明除了最大值之外，任何一个数的出现次数都是\(2^k\)的形式。
并且子集大小的奇偶性一一对应。因此，除了最大值之外，任何一个值的贡献全部会互相抵消，最后剩下的值就只有最大值。

对于期望而言这样做也是正确的。

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回到这道题目，我们\(max\{S\}\)表示集合中最晚出现的元素，\(min\)同理。
\(E(max\{S\})\)表示出现时间的期望。
那么我们要求的是\(E(max\{\)全集\(\})\)，那么利用\(min-max\)容斥，有：
\(E(max\{S\})=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min\{T\})\)
而\(E(min\{T\})=\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i}\)
那么枚举子集，直接\(dfs\)实现就好了

#include<cstdio>
int n;
double p[20],ans;
void dfs(int x,double e,int opt)
{
	if(x>=n){if(e>1e-7)ans+=opt/e;return;}
	dfs(x+1,e,opt);dfs(x+1,e+p[x],-opt);
}
int main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lf",&p[i]);
		ans=0;dfs(0,0,-1);
		printf("%.6lf\n",ans);
	}
}