寫在前面：群真的太強大了！感覺學會了群就學會了什么不得了的東西\(233\)
群的定義\((Definition~of~Group)\)
比較簡單的來講，所謂群\((\rm{group})\)指的是一類特殊的集合，這個集合包含一組元素和大於等於一個的運算，比如乘法群救記作\((G,\cdot)\)。那么平凡來講，群滿足下列幾個性質：
我們假定一個平凡的群\(G\)支持\(\color{purple}{qwq}\)這種運算：
\(Property1~~\)封閉性$$\forall a\in G, b\in G, a~\color{purple}{qwq}~b \in G$$
\(Property2~~\)運算的結合性$$(a~\color{purple}{qwq}~b) ~\color{purple}{qwq}~ c=a~\color{purple}{qwq}~ (b ~qwq~ c)$$
\(Property3~~\)存在單位元（幺元）滿足以下定義：$$\exists e\in G, s.t. \forall a\in G, e~\color{purple}{qwq}~ a=a~\color{purple}{qwq}~e=a$$
\(Property4~~\)對於每個元素，存在逆元，即滿足 $$\forall a\in G, \exists b\in G, s.t. a~\color{purple}{qwq}~ b=b~\color{purple}{qwq}~a=e$$
那么也就是說的直白點吧，對所有的元素，做完該群所帶有的帶有結合律的運算之后，所得結果仍然屬於該群且一定存在單位元，對於每個元素存在運算逆元。
那我們不妨定義一些其他的：
阿貝爾群\((Abel~ Group)\)：即交換群——運算滿足交換律的群。
半群：滿足封閉性和結合律的群。
有限群\((Finite~Group)\)：元素個數有限的群稱為有限群,而有限群的元素個數稱作有限群的階
結合幾個例子來解釋一下：
比如以下是幾個乘法群$$(Q\setminus{0}~,~\cdot)~, ~ (C\setminus{0}~,~\cdot)$$(R\setminus{0}~, ~\cdot)~,
他們都不能包括\(0\)這個元素，因為這個元素顯然是沒有逆元的。
或者一個好玩兒的乘法群$$({1,-1}~~, ~~\cdot)$$或者是所有非奇異的\(n\)階矩陣也可以組成一個乘法群。
或者是$$(Z~,~+)$$這個群比較經典\(233\)，其中我們借助這個來練習一下如何判斷是否成群,首先思考，這個東西一定是封閉的，因為最后會收斂於\(\pm \inf\)所以一定封閉，其次運算是一定符合結合律的，然后單位元肯定就是\(0\)，最后逆元的話，對於\(n\)那就一定是\(-n\)了（緊扣定義即可）。
\(Extra \ \ Things :\)
以下是兩種復合抽代數據結構（名字自己起的\(233\)）：
環：定義在兩個運算上，\((G,+,\cdot)\)其中\((G,+)\)是阿貝爾群，\((G,\cdot)\)是半群
舉例子：\(Z\), \(R[x]\)，即整數環和\(R\)上的所有多項式的集合。
域：同樣定義在兩個運算上，\((F,+,\cdot)\)其中\((F,+)\)是阿貝爾群，\((F\setminus\{0\},\cdot)\)是阿貝爾群
舉例子 ：\(Q,R,C\)即有理數域、實數域和復數域。
好的，那我們嘗試證明兩個命題：
\(Proposition1~~~~\)一個群中的單位元唯一
設有兩個單位元\(e_1,e_2\)
那么\(e_1=e_1e_2=e_2\)，其實是一個\(233\)
\(Proposition2~~~~\)群中元素的逆元唯一
以乘法群為例，假設\(a\)有兩個逆元\(b,c\)，那么一定會有$$b = b \cdot(a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = c$$
顯然也是同一個。
那么此時我打算整理一個群的共性特征：
很顯然，證明如下：
提這個的目的就是，我們發現在矩陣的相關內容里面也有這件事兒~所以就很開心
那么之后我們討論周期
對於一個元素\(a \in G\)而言，我們記\(a\)的周期是\(o(a)\)
\(o(a)\)表示最小正整數，使得\(a^{o(a)}=e\)
子群及其衍生
本節所指“群”沒有特別說明便均為有限群
不妨先給出子群的淺顯版定義：
如果對於一個群\((G, C)\) ，其中\(H\subseteq G\),，且 \((H,C)\)是群，那么我們稱在運算\(C\)下，\(H\)是\(G\)的子群，用\(H\leq G\)表示
那么從而我們可以定義生成子群這個東西：
生成子群：若\(S \subseteq G\)， 並且對於運算\(C\)而言，\((G,C)\)也是一個群，那么就稱\(G\)為集合\(S\)在運算\(C\)下的生成子群。集合\(S\)的生成子群用\(<S>\)表示
這之后我們就可以定義陪集這個概念
陪集一般上包含左陪集和右陪集。
左陪集：如果\(H \leq G\)，對於\(a \in G\)，定義集合\(H_a = \{x\in G~|~ \exists h\in H, ah=x\}\)為\(H\)的與元素\(a\)左陪集。
右陪集： 如果\(H \leq G\)，對於\(a \in G\)，定義集合\(H_a = \{x\in G~|~ \exists h\in H, ha=x\}\)為\(H\)的右陪集。
\(233\)也可以叫做傍集或者旁系之類的~
那么我們這個地方先只研究右陪集\(233\)
\(Lemma1:\)
我們首先證明一點：\(|H|=|H_a|\)，其中長得像絕對值符號的豎線表示的是有限群的群中元素數量。
這個其實比較顯然，因為事實上群都是定義在非可重集上面的。
較為嚴謹的證明如下：
\(Proof.\)
對於\(H \leq G\)，如果\(h_1\neq h_2 \in H\)，那么\(h_1a\neq h_2a\)
反證：若\(h_1a=h_2a\)，\(h_1aa^{-1}=h_2aa^{-1},~h_1=h_2\)矛盾
對於不同的\(h\)，\(ha\)互不相同，因此\(|H_a|=|H|\)
\(Lemma2:\)
之后我們再證明一些好玩兒的：
命題：\(H_a=H_b\)當且僅當\(ab^{-1}\in H\)
看起來好像不是那么好玩……
\(Proof.\)
若\(H_a=H_b\)，則\(ea\in H_a\)，即\(a\in H_b\)，那么\(\exists h\in H,~a=hb\),那么\(ab^{-1}=h\)
若\(ab^{-1}\in H\)，那么\(ha=ha(b^{-1}b)=(hab^{-1})b\in Hb\)，因此\(H_a\subseteq H_b\)
\(hb=hb(a^{-1}a)=h(ab^{-1})^{-1}a\in H_a\)，故\(H_b\subseteq H_a\)
因此\(H_a=H_b\)
那么我們還可以有一個推論：
若\(H_a\neq H_b\)，那么\(H_a\cap H_b = \emptyset\)
\(Proof.\)
假設\(x\in H_a\cap H_b\)， 則\(\exists h_1,h_2\in H\)，\(h_1a=h_2b=x\) ， 那么\(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H\)，那么\(H_a=H_b\)，矛盾
從而還可以有個定理（\(Lagrange\)定理）：
由於\(\forall g\in G\)， \(g\in Hg\)，所以\(G\)中每個元素都在某個傍集中。用\([G:H]\)表示不同的傍集數，那么
也就是說\(|H|\)是\(|G|\)的約數。
這個其實很顯然，因為不同元素的傍集如果不同就不會有交集，如果相同就不會被考慮到\([G:H]\)里面。所以結論平凡。
但是其實這是個很偉大的定理\(233\)
好的，那么從而就會有一些神奇的推論：
**推論一 ： 對於一個元素\(a \in G\)，\(G\)是一個群，那么\(o(a) | G\) **
\(Proof.\) 因為\(o(a) = |<a>|\)，由我們剛剛證明的定理可以得出\(o(a) | G\)
推論二：對任意的\(a \in G,a ^{|G|} = e\)
\(Proof.\) 比較顯然，由推論一可知。
推論三：若\(|G|\)為素數，則\(G\)是循環群
\(Proof.\) 若\(a \neq e\)，那么會有\(|<a>|\)整除\(|G|\)。而由於\(|G|\)是個素數，所以只有可能\(|G| = |<a>|\) ，所以\(G\)是個循環群。
接下來我們真的要去做些好玩的了~
定理\(1\)·\(Fermat\)小定理
如果\(p\)為素數，那么存在$a^{p-1} \equiv 1 (\mod p) $
$Proof. $
考慮質數\(p\)，考慮群\(G=\{1,2,\dots,p-1\}\)，群的運算定義為對\(p\)取模的乘法，那么由\(Lagrange\)可知：
定理2·\(Euler\)定理
\(a^{\phi(n)}=1 (\mod n)\)
\(Proof.\)
考慮\(n\in N^{+}\)，考慮群\(G=\{1\leq x\leq n~|~gcd(x,n)=1\}\),群的運算定義為對\(n\)取模的乘法
那么會有\(|G|=\phi(n)\)，從而有：
沒錯，證明十分的簡潔美觀。
作者被這種神奇的證明給折服了\(stO\).