【學習筆記】dp入門

知識點

動態規划（簡稱dp），可以說是各種程序設計中遇到的第一個坎吧，這篇博文是我對dp的一點點理解，希望可以幫助更多人dp入門。

 

先看看這段話

動態規划(dynamic programming)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關系，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，這是該領域的第一本著作。

這是百度百科上對於動態規划介紹，其實dp並沒有這么復雜，可以把dp看作是記憶化搜索的遞推形式。

再來看一下下面這段文字（來自《挑戰程序設計競賽(第二版)》）：

 

 

就像上面所說的，對於一道題目，如果選擇搜索可能會出現大量重復的狀態，如函數f

 int f(int a,int b)
 {
     return f(a+1,b+1)+f(a-1,b-1);
 }

 

這種函數在計算過程中有大量的資源被浪費，如 f(1,1) 和 f(3,3) 在返回值時都會計算一次 f(2,2)，這種無謂的計算致使了動態規划的誕生。

 

動態規划算法通常基於一個遞推公式及一個或多個初始狀態。當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。使用動態規划來解題只需要多項式時間復雜度，因此它比回溯法、暴力法等要快許多。

現在讓我們通過一個例子來了解一下DP的基本原理。

首先，我們要找到某個狀態的最優解，然后在它的幫助下，找到下一個狀態的最優解。

 

（上面這段話看不懂也就別看了）

 其實簡單的來說，dp就是用數組來遞推下一個狀態。

像上面的f函數，寫成dp就是 f[a][b] 。遞推式也與函數基本相同：f[a][b]=f[a-1][b-1]+f[a+1][b+1]。用這個式子，雙重循環即可。

 

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例題

如下是幾個經典問題，對於初學者來說有一點點難度，不懂可以多看幾篇關於dp入門的文章。此處附上我的代碼。題目可以百度。

最好要理解，並能獨立實現代碼

1、01背包

2、最長上升子序列（簡稱LIS，兩種做法，一種是O(n²)，另一種是O(nlogn)）

3、最長公共子序列（簡稱LCS）

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看完了上面的，可以做做題練練手了。

下面是一些題目的練習，題目都在www.luogu.org上，可以配合里面的題解與我的代碼來理解。

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習題

下述題目都為基礎的dp包括經典問題與其各種變形，乃dp入門必備之題。

注意：　1、從最下面往上刷

 

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 最后提供一些練習題與詳解：傳送門

刷完了進入下一章：dp基礎

 

洛谷P1280 尼克的任務

逆序dp，詳見注釋

 

洛谷P1091 合唱隊形

從頭開始，從尾開始各跑一次LIS

 

洛谷P1115 最大子段和 dp

 

洛谷P1508 Likecloud-吃、吃、吃

 

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洛谷P1855 榨取kkksc03

 

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 洛谷P1910 L國的戰斗之間諜

 

洛谷P2925 [USACO08DEC]干草出售Hay For Sale

 

洛谷P2347 砝碼稱重

 

洛谷P2722 總分 Score Inflation

開始dp入門的征程吧！ 

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后繼章：dp基礎。