二叉樹的三種遍歷方式

一、二叉樹的定義

二叉樹(Binary Tree)的遞歸定義：二叉樹要么為空，要么由根節點(root)、左子樹(left subtree)和右子樹(right subtree)組成，而左子書和右子樹分別是一顆二叉樹。注意，在計算機中，樹一般是"倒置"的，即根在上，葉子在下。

二、二叉樹的層次遍歷

三種遍歷方式：先序遍歷、中序遍歷、后序遍歷（根據根節點的順序）

PreOrder(T) = T的根節點 + PreOrder(T的左子樹) + PreOrder(T的右子樹)

InOrder(T) = InOrder(T的左子樹) + T的根節點 + InOrder(T的右子樹)

PostOrder(T) = PostOrder(左子樹) + PostOrder(右子樹)

其中加號表示字符串連接

這三種遍歷都是遞歸遍歷或者說深度優先遍歷 (DFS,Depth-First-Search)

三、已知兩種遍歷方式，推出另一種遍歷方式

先序+中序---->后序

后序+中序---->先序

因為后序或先序可以直接得到根節點，然后只要在中序遍歷中找到，就知道左右子樹的中序和后序遍歷，遞歸下去就可以構造出二叉樹了。

四、樣例

(1) 題意：給一顆點帶權（各權值都不相同，都是小於10000的整數）的二叉樹的中序和后序遍歷，找一個葉子節點使它到根的路徑上的權應盡量少。

(2) 代碼實現：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<sstream>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
//因為各節點的權值各不相同且都只是整數，直接用權值作為節點編號
const int maxn = 10000 + 10;    
int in_order[maxn], post_order[maxn], lch[maxn], rch[maxn];
int n;
int best, best_sum;

//按行讀取數據，並存到數組中
bool read_list(int *a)
{
    string line;
    if (!getline(cin, line))  return false;
    stringstream ss(line);
    n = 0;
    int x;
    while (ss >> x)  a[n++] = x;
    return n > 0;
}

//把in_order[L1,R1]和post_order[L2,R2]建成一棵二叉樹，返回樹根
int build(int L1, int R1, int L2, int R2)
{
    if (L2 > R2)  return 0;  //空樹
    int root = post_order[R2];
    int pos = L1;
    while (in_order[pos] != root)  pos++;
    int cnt = pos - L1;
    lch[root] = build(L1, pos - 1, L2, L2 + cnt - 1);
    rch[root] = build(pos + 1, R1, L2 + cnt, R2 - 1);
    return root;
}

//從根節點出發，中序遍歷，查找最小值
void dfs(int u, int sum)
{
    sum += u;

    //到達葉子節點，循環終止
    if (!lch[u] && !rch[u])
    {
        if (sum < best_sum)
        {
            best = u;
            best_sum = sum;
        }
        return;
    }

    //加了個剪枝：如果當前的和大於當前的最小和，就不必從這條路繼續搜
    if (lch[u] && sum < best_sum)  dfs(lch[u], sum);
    if (rch[u] && sum < best_sum)  dfs(rch[u], sum);
}

int main()
{
    while (read_list(in_order))
    {
        read_list(post_order);
        build(0, n - 1, 0, n - 1);

        best_sum = INF;
        dfs(post_order[n - 1], 0);
        cout << best << endl;
    }
    return 0;
}