【模板】Dijkstra總結

　　Dijkstra算法使用於跑最短路的算法。

算法思想

　　假定圖是不帶負權的有向圖或無向圖，采用貪心策略，每次擴展一個距離為最短的點，在以這個點為中間點，更新其他的所有點的距離。當所有邊權都為正時，由於不會存在一個距離更短的沒有擴展過的點，所以以這個點的距離永遠不會再被更新，因而保證了算法的正確性。

算法流程

• 初始化dist[1] = 0，其余的點時無窮大。
• 找出一個未被標記的、dist[u]最小的節點u，然后標記節點u。
• 掃描節點u的所有出邊，若有dist[v] > dist[u] + w[i]（v是到達的節點，w是邊權），則使用dist[u] + w[i]更新dist[y]。
• 重復上述的兩個步驟直到所有點都被標記。

算法優化

　　在上述算法過程我們可以在O（n*m）的時間內算出答案，主要問題在於找出節點u，我們可以利用堆對dist數組進行維護從而使獲得最大值的時間從O（n）變為O（1），但是在維護過程中我們仍然需要O（log（n））的時間來維護。所以我們可在O（mlog（n））的時間內完成最短路。

　　值得注意的是，在我們每次更新的時候，優先隊列不支持更改操作，即我們每次更改dist實際上是加入了一個新的節點去維護dist，所以，我們在調取到之前的dist時要選擇直接跳過，否則會直接TLE飛起來。

算法模板（洛谷P4779）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int head[100001],ne[200001],to[200001],w[200001],edgenum=0;
int dis[100001];
bool vis[100001];
int inf;
struct node{
    int pos,val;
    bool operator <(const node &a)const {return a.val<val;}
};
priority_queue<node> que;
inline void addedge(int f,int t,int co)
    {
        ne[++edgenum]=head[f];
        head[f]=edgenum;
        to[edgenum]=t;
        w[edgenum]=co;
    }

inline int read()
    {
        int x = 0, w = 0; char ch = getchar();
        for(;!isdigit(ch);w |= (ch == '-'), ch = getchar());
        for(;isdigit(ch);x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar());
        return w ? -x : x;
    }

inline node make_node(int x, int y)
    {
        node a;
        a.pos = x, a.val = y;
        return a;
    }

void Dijkstra(int s)
    {
        memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
       // inf = dis[0];
        dis[s]=0;
        que.push(make_node(s, dis[s]));
        while(!que.empty())
            {
                node x=que.top();que.pop();
                int u = x.pos;
                if(x.val > dis[u]) continue; //這一步就相當於是刪除了那些不夠優的節點
                vis[u]=true;
                for(int i=head[u];i;i=ne[i])
                    {
                        int v=to[i];
                        if(vis[v])    continue;
                        if(dis[v]>w[i]+dis[u])
                            {
                                dis[v]=w[i] + dis[u];
                                que.push(make_node(v, dis[v]));
                            }
                    }
            }
    }
int main()
{
    int n = read(),m = read(),s = read(),x,y,l;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            //scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
            x = read(), y = read(), l = read();
            addedge(x,y,l);
        }
    Dijkstra(s);
    for(int i=1;i<=n;i++)  printf("%d ",dis[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}