☆ [HDU2089] 不要62「數位DP」

類型：數位DP

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題意：問區間$[n,m]$的數字中，不含4以及62的數字總數

解題思路

數位DP入門題

先考慮一般的暴力做法，整個區間掃一遍，判斷每個數是否合法並累計答案。而數位DP則認為可以換一種方法來枚舉，找到對於一個數的上限，然后在這個限度內枚舉每一個數位來統計答案

為了方便數位DP，題意可以轉化求區間$[0, k]$的符合要求的數字總數，因此答案就是$ans(M)-ans(N-1)$

首先我們可以預處理出dp數組：$dp[i][j]$表示以$j$開頭的$i$位數的符合要求的數字總數；例如，$dp[2][3]$表示以3開頭的2位數中符合要求的，也就是區間$[30, 39]$中符合要求的。$$dp[i][j] = \sum\limits_{0 \leq k \leq 9 \\ \ k \neq 4}dp[i-1][k]$$這個方程很好理解，相當於枚舉一個數位塞到前面，同時需要保證不能把6塞當2前面，並且特判一下4就好了

至於統計答案，我們從上限的最高位開始往下掃描。這里有個很巧妙的思想——每次處理不超過當前這一位的部分。形象地說，對於數字$21358$，最高位掃描$0~1$，也就是把答案累積上$dp[5][0~1]$。這一步相當於處理了區間$[0, 19999]$中的所有；此時默認最高位是2，掃描到下一位，累積$dp[4][0~0]$，也就相當於處理了區間$[20000,20999]$；依次類推，然后將會處理$[21000,21299]$，$[21300,21349]$，$[21350,21357]$。因此我們可以在$O(lg N * 10)$的復雜度內處理區間$[0, N-1]$。（注意不包括N）$$ans = \sum\limits_{i=num}^{1}\sum\limits_{j=0}^{digit[i]-1}dp[i][j]$$

然后在來看判斷62和4的問題：每當我們進入到下一位，我們就將默認上一位確定。此時若確定的那一位為4，那么之后的都不用考慮了（一定不合法）。同理，如果當前確定的為2且上一位確定的為6，那么也可以跳出。事實上，這個跳出不是優化，而是必須那么做——如果不跳出，就會錯誤地累積很多答案。同時，不僅進入下一位的時候要判斷，掃描的時候也要判斷。道理一樣

拓展：如果題目要求的不是【不要62】而是【要62】呢？就好像[HDU3555] Bomb所要求的一樣，只需要求出所有的【不要62】數字，用N減一下就好了

Code

特別需要注意的是$digit[num+1]==0$這一步的處理，如果不加這一步，那么如果在處理前一個數字時殘留下了$digit[num+1]==6$，那么你的程序將不能在最高位填充2了！

另外還有dp數組的初始化問題：一種是$dp[0][0]=1$，或者對於所有$i \neq 4$，$dp[1][i]=1$。其實這兩者是等效的，因為在統計$dp[1][i]$時，只會累積到$dp[0][0]$為1

/*By DennyQi 2018.8.13*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 27010;
const int INF = 1061109567;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar(); return x * w;
}
int N,M,num,X,Y;
int dp[10][11],digit[10];
inline void Init(){
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 7; ++i){
        for(int j = 0; j <= 9; ++j){
            if(j == 4) continue;
            for(int k = 0; k <= 9; ++k){
                if(k == 2 && j == 6) continue;
                dp[i][j] += dp[i-1][k];
            }
        }
    }
}
inline int cul(int x){
    num = 0;
    int y = x, res = 0;
    while(y > 0){
        digit[++num] = y % 10;
        y /= 10;
    }
    digit[num+1] = -1;
    for(int i = num; i >= 1; --i){
        for(int j = 0; j < digit[i]; ++j){
            if(digit[i+1] == 6 && j == 2) continue;
            res += dp[i][j];
        }
        if(digit[i] == 4 || (digit[i+1]==6&&digit[i]==2)) break;
    }
    return res;
}
int main(){
    Init();
    for(;;){
        N = r, M = r;
        if(!N && !M) break;
        printf("%d\n",cul(M+1)-cul(N));
    }
    return 0;
}