點分治詳解


點分治詳解

一.概念

​ 是處理樹上路徑的一個極好的方法。如果你需要大規模的處理一些樹上路徑的問題時,點分治是一個不錯的選擇。

二.具體思路

​ 大多數同學的暴力做法都是對於每一個點對(u,v) 進行dfs來求解。但其實利用分治這一種算法,可以大大減少搜索的時間復雜度。

​ 對於一個序列上的區間和等操作,我們可以使用分治來將原問題分解成幾個子問題來求解,之后在一一合並答案。而在樹上我們也是可以進行這一種操作的。可是樹上的每一個子樹的節點數是不確定的,不能單單的取中點(你告訴我怎么取),或直接取一號子樹。(分治的點的錯誤選擇會導致時間復雜度十分不穩定)。

​ 如下圖所示,如果你取了第一個點的話,那么時間復雜度會變\(O(n)\),但如果我們取的點是3的話,那么時間復雜度就會是 \(O(logn)\)

​ 所以,我們要引入一個概念 —— 樹的重心

​ 定義:找到一個點,其所有的子樹中最大的子樹節點數最少,那么這個點就是這棵樹的重心,刪去重心后,生成的多棵樹盡可能平衡

​ 由定義可知,當我們選擇樹的重心為分支點時,是最優的(我有個絕妙的證明只是這里寫不下

​ 好了,求出了樹的重心之后我們就可以來分治了!!

​ 先現給出求重心的代碼,便於讀者依次理解

void find(int x,int fa)
{
 size[x] = 1; mx[x] = 0;
 for (int i = head[x]; i ; i = edges[i].net)
 {
     edge v = edges[i];
     if(v.to == fa||vis[v.to] ) continue;//vis是之后分治是要用到的
     find(v.to,x);
     size[x] += size[v.to];
     chkmax(mx[x],size[v.to]);
 }
 chkmax(mx[x],S-size[x]);//S為樹的大小,記住x的上面要算入的
 if(mx[x] < mx[root])
 {
     root = x;
 }
}

​ 現在開始我們點分治中最重要的部分了 —— 分治

​ 分治不太好講,我們從代碼開始分析

void Divid(int x)
{
   ans+=solve(x,0);
   vis[x] = 1;
   for (int i = head[x];i;i = edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(vis[v.to]) continue;
       ans-=solve(v.to,edges[i].cost);
       S = size[v.to]; root = 0;
       find(v.to,x);
       Divid(root);
   }
}
  1. ans += solve(x,0); 這一句的作用是將答案加上經過x的路徑答案。 而這一個0是為了解決掉一些,有重復計算的結果;(看不懂先假裝沒有這個0)
  2. ans -= solve(v.to,edges[i].cost); 這一句是將在既經過x這個點,又經過v.to這一個點的路徑來去重。因為像這種路徑會在solve(x,0)和solve(v.to,0)中都計算一次。而題目是要求路徑的長度,所以在容斥時要初始化這條邊的長度。所以,現在有沒有理解這個0和edges[i].cost?
  3. S = size[v.to]; 現在我們要分治v.to的這一顆子樹,So,又將求重心的樹的大小改為size[v.to];

到此為止,點分治就在這里講完了,solve函數是看題目的,有能力的同學可以切一切這兩道題(這兩道題會在下面進行講解)。luogu模板題聰聰可可.

三.例題分析

​ 1.luogu模板題

​ 題面在上面。

​ 因為題目是要求路徑長為k的路徑條數,所以solve函數返回的是過x節點的長度為k的路徑。

而這路徑長度是可以用 \(O(n)\) 的方法求出

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
template <class T>
inline void read(T &a)
{
   T s = 0, w = 1;
   char c = getchar();
   while(c < '0' || c > '9')
   {
       if(c == '-') w = -1;
       c = getchar();
   }
   while(c >= '0' && c <= '9')
   {
       s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
       c = getchar();
   }
   a = s*w;
}
template<class T> void chkmax(T &a, T b) {a > b ? (a = a) : (a = b);}
template<class T> void chkmin(T &a, T b) {a > b ? (a = b) : (a = a);}
template<class T> T min(T a, T b) {return a > b ? b : a;}
template<class T> T max(T a, T b) {return a < b ? b : a;}

int n,m;
int S;
int size[10101];
struct edge{
   int from,to,cost,net;
   edge(int f = 0, int t = 0, int cost = 0, int nex = 0)
   {
       from = f;
       to = t;
       this->cost = cost;
       net = nex;
   }
}edges[1010101];
int tot,head[101001],mx[101011],minn =0x3f3f3f3f,root;
int vis[1010110];
void add(int x, int y, int z)
{
   edges[++tot] = edge(x,y,z,head[x]);
   head[x] = tot;
}
void find(int x,int fa)
{
   size[x] = 1;mx[x] = 0;
   for (int i = head[x];i; i =edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(v.to == fa || vis[v.to]) continue;
       find(v.to,x);
       size[x] += size[v.to];
       chkmax(mx[x],size[v.to]);
   }
   chkmax(mx[x], S - size[x]);
   if(mx[x] < mx[root])
   {
       root = x;
   }
  
}
int que[1010110],ans[102210101];
int dis[1010101],hhd,a[10101101];
void get_dis(int x, int len, int fa)
{
   dis[++hhd] = a[x];
   for (int i = head[x]; i; i = edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(vis[v.to]||v.to == fa) continue;
       a[v.to] = len + edges[i].cost;
       get_dis(v.to,len + edges[i].cost,x);
   }
}
void solve(int s, int len, int w)
{
   hhd = 0;
   a[s] = len;
   get_dis(s,len,0);
       for (int i1 = 1; i1 <= hhd; i1++)
           for (int i2 = 1; i2 <= hhd; i2++)
           {
           	if(i1 != i2)
           	{
                	ans[dis[i1] + dis[i2]] += w;
               }
           }
}
void Divide(int x)
{   
   solve(x,0,1);
   vis[x] = 1;
   for (int i = head[x]; i; i = edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(vis[v.to]) continue;
       solve(v.to,edges[i].cost,-1);
       S = size[x];root = 0; mx[0] = n;
       find(v.to,x);
       Divide(root);
   }
}
int main()
{
   read(n); read(m);
   for (int i = 1; i < n; i++)
   {
       int x,y,z;
       read(x); read(y); read(z);
       add(x,y,z);
       add(y,x,z);
   }
   S = n;mx[0] = n;root = 0;
// minn = 0x3f3f3f3f;
   find(1,0);    
  // printf("%d\n",mx[root]);
   Devede(root);
   for (int i = 1; i <= m; i++)
   {
       int k;
       read(k);
       printf("%s\n",(ans[k]) ? "AYE" : "NAY");
       //printf("%d\n",ans[k]);
   }
   return 0;
}

​ 2.聰聰可可

​ 這道題是來求長度被3整除的路徑條數,但處理方法跟上一條不太一樣。

我們可以設p[0],p[1],p[2]為除3余數為0,1,2的 路徑條數。顯然答案為\(p_0^2\) + \(p_1 * p_2 * 2\)

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
int gcd(int x, int y)
{
    if(y == 0) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
template<class T>
inline void read(T &a)
{
    T s = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')
    {
        if(c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9')
    {
        s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    a = s*w;
}
template<class T> void chkmax(T &a, T b){a > b? (a = a) : (a = b);}
template<class T> void chkmin(T &a, T b){a > b ? (a = b):(a = a);}
int n;
struct edge{
    int from, to,cost,net;
    edge(int f = 0, int t = 0, int c = 0, int n = 0)
    {
        from = f;
        to = t;
        cost = c;
        net = n;
    }
}edges[2010101];
static int head[20010],tot;
void add(int x, int y, int z)
{
    edges[++tot] = edge(x,y,z,head[x]);
    head[x] = tot;
}
static int vis[20010],size[20010],mx[20010],root,S; 
void find(int x,int fa)
{
    size[x] = 1; mx[x] = 0;
    for (int i = head[x]; i ; i = edges[i].net)
    {
        edge v = edges[i];
        if(v.to == fa||vis[v.to] ) continue;
        find(v.to,x);
        size[x] += size[v.to];
        chkmax(mx[x],size[v.to]);
    }
    chkmax(mx[x],S-size[x]);
    if(mx[x] < mx[root])
    {
        root = x;
    }
}
int dis[20010],a[20010],cnt;
int ans,p[3];
void get_dis(int x, int fa)
{
  //  dis[++cnt] = a[x];
    p[a[x]%3]++;
    for (int i = head[x] ;i; i = edges[i].net)
    {
        edge v = edges[i];
        if(v.to == fa ||vis[v.to] ) continue;
        a[v.to] = a[x]+v.cost;
        get_dis(v.to,x);
    }
}
int  solve(int x, int len)
{
    a[x] = len;
    //cnt = 0;
    p[0] = p[1] = p[2] = 0;
    get_dis(x,0);
    return (p[0]*p[0] + 2 * p[1] * p[2]);
}
void Deved(int x)
{
    ans+=solve(x,0);
    vis[x] = 1;
    for (int i = head[x];i;i = edges[i].net)
    {
        edge v = edges[i];
        if(vis[v.to]) continue;
        ans-=solve(v.to,edges[i].cost);
        S = size[v.to]; root = 0;
        find(v.to,x);
        Deved(root);
    }
}
int main()
{
    //freopen("xx.in","r",stdin);
    //freopen("xx.out","w",stdout);
    read(n);
    for (register int i = 1; i < n; i++)
    {
    	int x,y,z;
    	read(x); read(y); read(z);
    	z%=3;
    	add(x,y,z);
    	add(y,x,z);
    }
    S = n;root = 0; mx[0] = n+1; 
    find(1,0);
    Deved(root);
    int pp = gcd(ans,n*n);
    printf("%lld/%lld\n",ans/pp,n*n/pp);
   // std::cerr<<std::clock()<<std::endl;
    return 0;
}


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