以下是對EMD方法的一些學習，對英文網站的翻譯。
from ncl sites
EEMD，全名Extend Empirical Mode Decomposition，意為“擴展的經驗模態分解”。
CEEMDAN，全名Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise Analysis，意為“利用自適應噪聲分析進行的完全的集合經驗模態分解”。
EMD的概述詳見Lambert的網頁https://www.clear.rice.edu/elec301/Projects02/empiricalMode/。
EMD是一種適用於處理非平穩非線性序列的自適應的時空分析方法。EMD進行了操作，將一個序列分成數個“模態”（IMFs, 本征模態函數）而不偏離時間域。這可以與一些時空分析方法，如傅里葉變換和小波分解，相比擬。與這些方法類似，EMD並不基於物理（原理）。相反，這些模態可能提供了在這些數據中包含了眾多的信號。這個方法尤其適用於分析自然信號，而自然信號通常是非線性和非平穩的。一些典型的例子包括南方濤動指數（SOI）,NINO-3.4指數，等。
EEMD（集成的EMD）是一個輔助噪聲的數據分析方法。EEMD包括篩選（sifting）出一串白噪聲信號集合。EEMD不需要選擇任何先驗的主觀標准，自然地分離，如在在原始 EMD 算法的間歇測試中。
Wu and Huang（2005）指出："白噪聲強制集合在篩選過程去排除所用可能的解決方法是必要的，這從而使不同的尺度信號在由二元濾波器組描述的適當的本征模態函數（IMF）中進行整理。由於EMD是時間空間分析方法，白噪聲在具有足夠數量的試驗的情況下被平均化。在平均過程中保留下來的唯一持久性部分是信號，然后將其視為真實且更有實際意義的答案。“此外，他們指出：”[EEMD]代表了對原始EMD的實質性改進，並且是真正的噪聲輔助數據分析（NADA）方法“
CEEMDAN（利用自適應噪聲分析進行的完全的集合經驗模態分解）是EEMD算法的一個變體，它提供了一個精確重建原始信號和更好的IMF的譜分離的方法。
一些評論：
Salisbury and Wimbush (2002)：這種經驗模式分解（EMD）方法在生成一組本征模態函數（IMF）時，提取與各種固有時間尺度相關聯的能量。IMF具有良好的Hilbert變換，這可以，我們可以在時間和頻率上定位任何事件。“
Lambert et al：“信號被分解的函數都在時間域中，並且與原始信號長度相同，這一事實允許保持時間變化的頻率。從現實世界信號中獲取IMF是很重要的，因為自然過程通常有多種原因，並且這些原因中的每一個都可能發生在特定的時間間隔內。這種類型的數據在EMD分析中很明顯，但在傅里葉域或小波系數中都很隱蔽。
重要說明：Lucko et al. (2016) 提供的C代碼的NCL接口。 有報告稱，此代碼由於使用了P. Luukko代碼中的故障判據，對於某些模式會遇到模式混合問題。 NCL團隊正在研究另一個版本的EEMD，看看是否可以改善這個問題。
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Empirical Mode Decomposition
概述
EMD是一個不需要離開時間域的分解方法。它可以與其它方法（如傅里葉變換和小波分解）相比擬。這個過程對於分析自然信號（通常是非線性和非平穩的）是有用的。這部分來自我們目前知道的方法的假設（即所討論的系統是LTI，至少是近似的）。
EMD過濾出的函數，組成了一個關於原始信號完整的，且幾乎正交的基礎的函數。完整性基於EMD的方法；這樣分解意味着完整性。因此，這些被稱為“內在模式函數”（IMF）的函數，即使它們不一定是正交的，也足以描述信號。其原因Huang et al等人在Royal Society Proceedings on Math, Physical, and Engineering Sciences中有所描述：“......這里的真正含義僅適用於局部。對於某些特殊數據，相鄰的分量當然可以在不同的持續時間內具有相同頻率的數據部分。但對於所有實際情況，任何兩個分量在局部應該是正交的”（ 927）。
信號分解的函數都在時間域內, 並且與原始信號的長度相同, 可以保留不同頻率。因為自然過程通常有多種原因，並且每種原因都可能在特定的時間間隔內發生，所以從現實世界信號中獲取IMF非常重要。這種類型的數據在EMD分析中很明顯，但在傅里葉域或小波系數中被完全隱藏。
一些數據非常有效地應用EMD方法，如地震讀數，神經科學實驗的結果，心電圖（我們將在后面討論），胃電圖和海面高度（SSH）讀數等。
過程
- EMD將原始信號分解成本征模態函數(IMF)分量
- 一個本征模態函數是：
1. 在過零點直接僅有一個極值
2. 均值為零為了描述這一過程,我們借用海報下面的部分:
篩選過程 - 篩選過程就是EMD用於將信號分解成IMF的過程。
篩選過程如下：
對於一個信號X(t)，從三次樣條插值的局地最大值和最小值確定上下包絡，讓m1表示上下包絡的均值。局地性是由任意參數確定；計算時間和EMD的有效性很大程度上取決於這個參數。 - 第一個分量h1計算方法如下：
h1=X(t)-m1 - 在第二個篩選過程中，h1被視作數據，m11是h1的上下包絡的均值：
h11=h1-m11 - 篩選過程重復k次，知道h1k是一個本征模態函數，即：
h1(k-1)-m1k=h1k - 隨后它被指定為c1=h1k，數據中第一個IMF分量，它包含了信號中最短的周期分量。我們將它從數據剩余部分中分離：X(t)-c1 = r1 這個過程重復rj次：r1-c2 = r2,....,rn-1 - cn = rn
- 結果是一組函數；在集合中函數的數目依賴與原始信號。
應用
如概述所述，EMD對於非線性，非靜止信號是最有用的（正如我們稍后將看到的，或許是唯一有用的）。如這個例子所示，我們將EMD應用與幾個信號中，其中兩個是從網上獲取的心電圖原始數據。鑒於采樣率並不是可用的，水平軸代表樣本數量。
ecg.mat
ekg.mat
以下是結果EMD時每個信號；軸與原始信號圖相同:
ecg.mat
圖 從左上方的c14到右下方的c1。
ekg.mat
相反的圖，從c1到c14
每個IMF代表一個不同的信號的一部分，對不同的因果關系的部分，給總復合心跳一個相當不錯的分類。雖然ecg.mat中的波（我們仍然無法確定原因）導致EMD出現一些問題，但信號ekg.mat被相當有效地分解，特別是在IMF c3中，其中每個心跳被識別為一個單獨的實體，在其他較小的部分中，它們共同組成一次心率。
人造vs天然
雖然遺憾的是我們沒有信息的來源，但是在網絡上的某個地方發現EMD已被用來相當有效地確定合成為看起來像自然數據的“假”信號和相同類型的自然信號之間的差異。
我們進行的幾項實驗支持這一發現。雖然有幾個小組成員在網上尋找使用EMD的信號，但是一個小組成員試圖從他創建的信號中獲得有意義的EMD。嘗試了幾種不同的方法，包括使用頻率隨時間變化的正弦波，並添加噪聲。分解結果是一團糟；我們發現我們無法用自然信號經常具有的因果模式的疊加來創建信號。
希望我們很快能夠發布一些所提到的信號及它們的EMD；他們米錢迷失了，但可能還有待重新發現。
比較
EMD的重要性部分是因為他分解信號的方式比傅里葉變換強多了。由於EMD在其自己的域中保持信號的方式，它可以處理一些其它方法認為是“表現不佳”的信號。當信號進入新域時，某些選擇特征隨原始變量變化的方式完全丟失。雖然可以准確地檢索信號，但是在沒有該信息的情況下不能在新域中有效地分析信號。
EMD沒有這個問題。例如，當它將時域信號分解成IMF時，每個模式功能包含有關原始信號的頻率如何隨時間變化的信息。因此，EMD不需要對線性或時間不變性進行最輕微的預設。這里我們提供一個例子來說明這個屬性。下面是來自矢量ecg.mat的數據的傅里葉變換的一部分：
在這一領域，即使我們知道我們應該找到心跳基本在峰值(或至少是某種暗示的局部極大值)的，但我們不能找到它。我們只看到噪音。這是因為基本節拍隨着時間的推移會改變其頻率，以至於沒有出現這種尖峰。顯然，EMD在這種情況下是優越的。
結論
當用於正確的目的時，EMD顯然要優越得多。對於線性的，平穩的系統的輸出，EMD幾乎沒有價值，而且計算時間也很耗時。然而，對於非線性，非平穩信號，如現實世界中的許多信號，EMD不僅是一種有用的方法，而且可能是唯一的分析計算方法。
以我們的ECG為例，直到最近，我們使用的測試數據的讀數通過眼睛檢查，結果通過估計確定。這樣的方法不是標准化的，也不是可重復的。EMD可以提供對自然數據的有效處理。
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文獻閱讀 基於 EEMD 分解的歐洲溫度序列的多尺度分析
摘要 用EEMD方法對近兩百年經過均一化校正的高精度的歐洲5站逐日溫度序列進行分解。
資料和方法
資料篩選：
1) 資料評估校正 通過SNHT (standard normal homogeneity test, 標准正態檢驗法)、BHR (Buishand range test, Buishand 范圍檢驗法)、PET (Pettitt test, Pettitt 檢驗法)和VON (Von Neumann ratio test, Von Neumann 比率檢驗法)等方法對資料進行評估校正
2) 篩選出5個站點的資料
方法
小波分析和奇異譜分析等方法由於預先給定了基函數, 所以它們都不具備資料自適性, 並且可能會由此分解出虛假的波動尺度。
相對於這些分析方法, 經驗模態分解(EMD)-集合經驗模態分解(EEMD)的最大優點在於其能夠以自適應方式提取信號的各分量及變化趨勢。MD-EEMD 是一種適用於非線性、非平穩信號的信號分析方法, 具有可適性、正交性、后驗性、完整性等特點, 在信號分析領域中有着廣泛的應用。
EMD 的主要原理是將原始數據分解成有限的不同時間尺度的本征模態函數IMF, 從而得出信號在不同時間尺度上的變化情況。為使EMD 的分解結果能夠更准確地揭示信號的變化特征, 就需要分解出的IMF 具有現實的物理意義。一個具有現實物理意義且可信度較高的IMF 應滿足以下兩點要求:
1) 在整個極值資料中, 極值的數目必須與跨零點的數目相等, 或最多只能差一個;
2) 在任何時間點上, 由極大值包絡線和極小值包絡線所定義的局部均值包絡線的值為0。
EMD存在缺陷——邊緣效應和尺度混合。尤其是尺度混合, 它不僅會造成各種尺度振動模態的混合, 甚至可以使個別IMF 失去物理意義。
因此, 在EMD 的基礎上, 引入了一種利用噪音輔助的集合EMD 分解方法, 即EEMD[13]。它能更好地解決尺度混合的問題。
EEMD特點，繼承了EMD 的自適性; 引入了白噪聲擾動並進行集合平均，避免了尺度混合問題, 使得最終分解的IMFs 保持了物理上的唯一性。
EEMD 具體步驟：
1）將待分析的資料數據序列疊加上給定振幅的白噪聲序列。
2）將加入白噪聲后的數據——混合的信號(原始信號)進行EMD 分解。
3）反復重復這兩步驟, 每次加入振幅相同的新生的白噪聲序列從而得到不同的 IMFs。
4）最后將各次分解得到的IMFs 求集合平均, 並將其作為最終的分解結果。
這樣就得到了各個固有尺度上的IMFs。此外, EMD 除了不能保證每個IMF 都具有很好的物理意義外, 亦不能估計分解得到的IMFs 的信度。但EEMD 可借助於白噪聲的集合擾動進行顯著性檢驗, 從而給出各個IMF 的信度[14−15]。
本文在對逐日溫度序列進行EEMD 分解時, 用於集合分解的擾動白噪聲與原始信號的信噪比(標准差比)為0.2 或0.3, 集合樣本數取為100。另外,本文對EEMD 分解的IMFs 還進行了顯著性檢驗。
通過對 5 個站點近200 年的逐日資料進行EEMD分解，可以得到14 或15 個IMFs(Cj, j = 1, 2, …,14 或15)以及殘差序列。這些IMFs 依次反映了從高頻到低頻不同時間尺度的溫度波動特征。正如所預期的, 顯著性檢驗表明年循環在各個站點都非常顯著(各個站點中抽取的14 或15 個IMFs 中, 第6～7 個分量包含年尺度信號分量)。為了更准確地分析溫度的低頻變化特征, 本文以年尺度分量為界將信號划分為高頻分量(年及年以下尺度)和低頻分量(年以上尺度)兩部分, 並重構低頻分量。
低頻信號的重構按以下步驟進行:
1) 將集合平均得到的包含年尺度的兩個分量相加(C6+C7)並進行EMD 分解, 分解后的第一個分量為年循環;
2) 將步驟1) 分解得到的第2 至14 或15 個分量疊加到EEMD 分解得到的第8 至14 或15 個分量中, 構成新的低頻分量序列。然后再對重構的低頻信號進行 EEMD 分解, 提取各時間尺度上的低頻分量。圖1 顯示了Milan 站通過顯著性檢驗的 6 個低頻分量的信號。為了比較,同時給出了相應尺度上小波分解的結果。兩次EEMD分解的結果非常吻合, 但與小波分解的結果在某些尺度上略有差異, 例如在C12 尺度上。值得注意的是差異最大的時段出現在邊緣效應最強的兩端。
結果分析
2.1 低頻信號的尺度分析
上述各站點的低頻信號的分解結果得到了6~8個顯著性水平高的低頻分量(圖2), 分別代表溫度變化的年際、年代際、世紀尺度的波動情況。具體時間尺度如表2 所示。為了對比分解結果, 對無缺失數據的Stockholm站和Praha-Klementinum 站年平均序列進行EEMD 分解。結果表明: Stockholm 站具有平均周期為2.7, 5.9, 16.6, 28.6, 64.1 和169.8 a 等6 個不同尺度的顯著分量, Praha-Klementinum 站則有平均周期為2.6, 5.75, 12.4, 21.1, 41.3 和212 a 等6個不同尺度的顯著分量。考慮到數據長度的限制以及低頻信號的尺度有一定的波動范圍, 用逐日資料和年平均序列的到結果有很好的一致性, 尤其是Stockholm 站。
此外, 考慮到相鄰的IMFs 有可能包含部分相近尺度的信號, 因此, 為了得到個尺度更明確的IMFs, 可以將低頻信號的分解結果進行再分解處理[13]。具體方法如下。
1) 將兩個相鄰分量相加Cj +Cj +1 進行EMD 分解(此時的合成信號對EMD 分解更加敏感), 再次分解后的第一個IMF 既為第Cj 個分量。
2) 抽取的第一個IMF 既為第j 個分量Cj (這里用Dj 表示), 再將剩余部分(Cj +Cj +1-Dj)加到第j+2個分量Cj +2 中, 分解得到Cj+1。
由於不同地區的溫度低頻變化的時間尺度並不唯一且有可能表現出階段性的變化[16], 因此, 我們用各站多次分解結果的尺度范圍作為歐洲溫度低頻波動的尺度, 並且由於多次分解的結果均在一個主要的取值范圍內變化, 因此可以認為分解的尺度具有代表性。
經過多次分解后的溫度波動有以下幾個主要尺度范圍:
1) 年際尺度存在着平均周期為3.0~3.7 和5.2~7.5 a 的波動尺度, 這與ENSO 存在着2~7 a 的波動在時間尺度上有一致性且重多研究表明ENSO 事件對全球的氣候變化有影響;
2) 年代際尺度存在着平均周期為11.0~15.0, 21~28 和50~75 a的波動尺度;
3) 世紀尺度存在着平均周期為100~125 和140~156 a 的波動尺度。對於溫度變化趨勢的抽取, 我們將最后的1~2 個IMFs(C14 和C15)和EEMD 分解的殘差趨勢項(殘差項與其平均值之差)整合在一起反映溫度在整個時間尺度內的變化趨勢。
2.2 低頻信號的波動分析
雖然從平均周期上看溫度波動表現出很好的離散尺度且溫度的低頻變化有很好的一致性, 單個分量在周期性、波動幅度上卻表現出一定的差異, 如圖3~5 所示。1) 非周期性及准周期性。歐洲溫度波動的低頻信號在平均尺度上表現出很好的一致性, 但個分量的波動變化卻表現出准周期性甚至是非周期性。如Praha-Klementinum 站在時間尺度為50~75 a (C12)的年代際尺度變化中, 1850—1940 年間的周期長度明顯小於1850 年前和1940 年后的周期長度, 但Milan站在該尺度的波動中卻顯示出准周期性特征。整體上講, 5 個站在年代際尺度的分量上, 周期長度的變化要明顯大於年際尺度和世紀尺度的變化。2) 波動幅度變化及波動的時段性。溫度低頻變化在波動振幅上也表現出很好的局域性特點。如年際尺度的波動上Milan 站的波動幅度明顯小於Praha-Klementinum站, 而這種差異性在世紀尺度的信號分量中表現的更明顯。如圖5(a)所示, Bologna站的波動振幅明顯小於Stockholm, Praha-Klementinum,Milan 和Wien 4 個站, 但這種差異性在年代際尺度的分量中表現不如年際尺度和世紀尺度的明顯。值得注意的是在50~75 a 的年代際尺度和世紀尺度的變化中, 部分站點溫度變化在1980 年以后表現出強烈的上升趨勢, 如Stockholm 站。此外, 低頻信號的各分量在整個數據長度的范圍內表現出明顯的時段性尤其是年際尺度和年代際尺度的變化,但世紀尺度波動時段性卻不明顯。5 個站在3.0~3.7 a(C8)和5.2~7.5 a (C9)的年際尺度上都表現出很好的時段性如圖3(a)和(b)所示。年代際尺度上Stockholm,Bologna, Praha-Klementinum 和Milan 在11.0~15.0 a尺度上表現出很好的時段性, 如Praha-Klementinum在1850—1940 年間的波動幅度明顯小於1850 年前和1940 年后的波動幅度。另外, Stockholm 和Praha-Klementinum 兩站在50~75 a 的尺度上表現亦很明顯。溫度低頻變化在周期性和波動振幅變化上表現出很好的局域性, 可能是由局域氣候不同造成的。此外, 對於歐洲地區平均溫度而言, 1900—1950 年處於平穩的上升階段, 1950—1970 年處於較小的波動階段, 1970 年以后則處於加速上升階段[1]。整體而言, 趨勢項顯示1900 年以后5 站均呈上升趨勢, 而在1980 年以后則呈現加速上升趨勢, 且在整個序列長度范圍內溫度增幅為1.8~2.75℃, 其中以Stockholm 站表現出尤為明顯。世紀尺度和50~75 a的年代際尺度均顯示1970 年以后溫度呈現出上升趨勢。在1900—1950 年間, 世紀尺度變化呈下降趨勢, 50~75 a 的年代際尺度則表現出現先升后降的波動變化。這說明趨勢項對於平均溫度的變化有着明顯的影響。
2.3 年循環與季節變化
本文中定義的年循環為年尺度分量, 具體抽取方法如2.1 節所示: 將包含年尺度的兩個分量相加(C6+C7)並進行EMD 分解, 分解后的第一個分量為年循環。季節變化用年、年以上尺度低頻分量及趨勢項的整合結果來表示。就全球平均溫度而言, 20世紀的增溫分兩個階段發生, 即10—40 年代(增溫幅度為0.35℃)和增溫更強的70 年代末以后(幅度約為0.55℃)。因此, 我們將結合全球平均溫度的變化分析歐洲季節變化及年循環變化, 如圖6 所示。考慮到冬夏兩季的溫度對平均溫度的影響比較大, 因此, 本文主要分析冬夏兩季的季節長度和強度的變化, 如圖6(a)和(b)所示。
1) Milan 站。相對於1850 年以前, Milan 站在1860 年以后表現出明顯的夏季變長且高溫增多, 高溫最多時間段出現在1900—1910 年、1940—1955年及2005 年至今。從整個數據長度范圍內看, 冬季一直在變短變弱, 尤其在1970 年以后這種變化趨勢更明顯。
2) Stockholm 站。在整個數據長度范圍內, 1756—1860 年間夏季最長轉折點出現在1860 年, 1860年以后夏季開始變短且夏季最短時間段出現在1860—1900 年間。另外一個明顯的轉折點出現在1970 年, 即在1970 年以后夏季開始變長但高溫增多不明顯。1920 年以后冬季低溫明顯減少, 但在1960—1970 年間低溫略有增多, 1970 年以后冬季變短和低溫減小的現象更加明顯。相同情況也出現在Praha-Klementinum站, 兩站在季節變化上有着很好的一致性。綜合而言, 歐洲季節變化顯示: 70 年代以后夏季變長、冬季變短、低溫減少, 且有部分站點出現夏季高溫增多現象。因此, 70 年代末以來的增溫很可能是冬夏兩季增溫的同時, 夏季變長、冬季變短共同作用的結果。溫度信號初次分解的顯著性檢驗顯示年循環在歐洲各站點上都表現得非常明顯。傳統意義上的年循環是一個氣候變量的日(月)的函數, 定義為多年氣候變量的平均值。因此, 傳統的年循環通常是一個不隨年變化的量。而事實上溫度的年循環是逐年變化的, 如圖6(c)和(d)所示。此外, 考慮到部分缺失的數據對結果的影響, 本文選擇具有代表性的兩站(Milan 站和Stockholm 站)進行着重分析。近二百多年歐洲各站的年循環變化特征有兩類: 1) 年 循 環 強度逐年變化較小, 如Milan 和Bologna 兩站, 其中以Milan 站為代表; 2) 年循環年強度逐年變化較大, 如Stockholm, Wien 和Praha-
Klementinum 站, 以Stockholm 站為代表。1) 在整個數據長度范圍內Milan 站的年循環較弱, 年份振幅波動為±10℃, 年循環較強的年份振幅波動為±13.5℃, 且年循環最強年份出現在1850—1880 年及1940—1950 年間。1830 年以前年循環強度較大且無明顯的變化, 而在1830—1850 年和1910—1940 年間出現一個相對減弱的階段。1965年至今年循環強度明顯減小且振幅波動范圍處於±10~±12℃之間。2) Stockholm 站的年循環強度逐年變化很大。年循環較弱的年份振幅波動為±5℃, 而較強年份振幅波動達±15℃。從整個數據長度看, 1830 年以前年循環強度較強且無明顯變化。而年循環減弱的轉折點出現在1850 年, 1850 年以后年循環減弱且在1910—1940 年間和1980 年以后表現尤為明顯。綜合而言, 兩站在1910—1940 年間及1970 年代末以來年循環強度均處於減弱狀態, 且年循環減弱可能是由於平均溫度的增加而造成的。
3 結果與討論
EEMD 是一種適用於非線性、非平穩序列的信號分析方法。將EEMD 應用於氣候要素時間序列,可提取可靠真實的氣候變化信號。特別地, EEMD可以得到氣候變化的固有時間尺度。本文對歐洲5站近200 年高精度的逐日溫度序列的EEMD 分析得到以下認識。
1) 歐洲溫度的低頻變化存在着3 個典型的固有時間尺度, 即年際尺度、年代際尺度和世紀尺度。具體地, 年際變化存在着3.0~3.7 和5.2~7.5 a 的平均周期; 年代際變化存在着11.0~15.0, 21~28 和圖 5 5 站世紀尺度的信號分量C13(100~125 a 和140~156 a)(a)和變化趨勢(b)Fig. 5 Century scale C13 of five stations (100-125 a and140-156 a) (a) and trends of five stations (b)50~75 a 的平均周期; 世紀尺度存在着100~125 和140~156 a 平均周期。就平均周期而言, 歐洲溫度的低頻變化存在着很好的一致性。
2) 盡管歐洲溫度的變化有3 個典型的時間尺度, 但另一方面, 溫度變化也顯示了准周期性甚至非周期性特征。特別地, 在年代際時間尺度上, 溫度演變的周期長度隨時間變化顯著。
3) 盡管歐洲5 站溫度的低頻變化在各時間尺度上都顯示出較好的同步性, 但溫度的波動幅度卻有明顯的差異。
4) 就溫度變化趨勢而言, 1900 年以后的變暖幅度明顯大於之前100 年的變化幅度。在世紀尺度的變化上, 70 年代末以來的增暖趨勢非常顯著, 這與全球的情形類似。
5) 年循環與平均溫度的變化有較好的關聯, 年循環強度在1910—1940 年及70 年代末以來的兩個暖期里均處於偏弱的狀態, 尤其是最近30 年里年循環強度減弱趨勢更加明顯。此外, 與1910—1940 時段相比, 在70 年代末以來的暖期里, 夏季更長冬季更短。這兩個暖期的夏季長度的差異可能意味着: 40年代的增暖表現為冬季和夏季平均溫度的都升高;但對於70 年代末以來的增暖, 夏季變長冬季變短卻起了重要的作用。