網絡流基礎-最大流最小割定理

最大流最小割定理，指網絡流的最大流等於其最小割。

最大流指符合三個性質的前提下，從S到T能流過的最大流量。

最小割指符合割的定義，最小的割容量。

求最大流：

不斷尋找增廣路，計算能增加的最小流量，然后增加。

找到一條增光路，最多能流過2，則：

找到第二條路徑：

最后還剩a-c-e一條，則可計算出最大流量為4。

 

但遇到以下情況，且第一條路徑為a-b-c-d時，就不行了：

此時需要增加反向路徑，即當減去增廣路時，反向加上減去的流量，提供后悔的選擇：

這樣，當考慮a-c-b-d時，可以對沖掉b-c的流量。

證明：

定理一：對於任一割和任一流，流量等於正向割邊流量減去反向割邊流量。即f = f_c+  -  f_c-，其中c+代表正向割邊流量。

　　推論：任一割容量必定大於等於任一流量，由於：C₊ > f_c+ > f_c+  -  f_c- > f。

則如果存在某流量和某割，則此流量必定為最大流，此割必定為最小割。

當我們計算出最大流時，不妨思考下此時的殘留網絡：

　　此時殘留網絡不存在增廣路，即不存在一條能從S到T的路徑。

　　此時殘留網絡中，我們把S能到達的節點記為s'集，能到達T的節點記為t’集，則s'和t'構成割集。

　　在殘留網絡中，流量指容量為0的邊（滿流），而這些邊又是割邊，所以流量和等於割的容量和。

比如對於：

其一個殘留網絡為：

其中兩條虛線邊為滿流的邊，也是割邊。 

 

參考：https://www.cnblogs.com/dyzll/p/5887266.html