群論初探

簡單群論^[1][2]

群

定義

群\(G\)是一個定義在二元組\((S,\cdot)\)的代數結構。其中\(S\)是一個集合，\(·\)是一個二元運算符。

\(G\)所含元素的個數稱為群\(G\)的階，記為\(|G|\)。一般的，稱階為\(+\infty\)的群為無限群，否則稱為有限群（定義同樣適用於集合）。

在群\(G\)中，\(a\in G\)。若存在最小正整數\(k\)使得\(a^k=e\)，則稱\(k\)為\(a\)的階，記為\(|a|=k\)；否則稱\(a\)的階是無限的，記為\(|a|=+\infty\)。

群論中，集合或群中的一個元素也被稱為一個點。提醒，你可能會在下文看到“由元素組成的群”等不嚴謹的說法，請不要糾結。

判定與性質

滿足下列條件的二元組\(G=(S,\cdot)\)可以稱為群：

1. 封閉性： \(\forall x,y\in S,x\cdot y\in S\)；

2. 結合律：\(\forall x,y,z\in S,(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)\)；

3. 單位元：\(\exists e\in S,\forall x\in S,e\cdot x=x\cdot e=x\)；

   當\(G\)為加法群是，其單位元稱為零元，記作\(0\)。

4. 逆元：\(\forall x\in S,\exists y\in S,x\cdot y=y\cdot x=e\)；

   在式\(x\cdot y=e\)中，稱\(x\)為\(y\)的左逆元，\(y\)為\(x\)的右逆元。當\(G\)為加法群時，\(a\)的逆元也稱作負元，並記為\(-a\)。

   結論：在群中，左逆元\(=\)右逆元。

   證明：

   1. \(\forall x\in G,\exists a\in G,a\cdot x=e\)。\(a\)為\(x\)的左逆元。
   2. \(\exists b\in G,b\cdot a=e\)。

   由1、2，\(x\cdot a=(b\cdot a)\cdot (x\cdot a)=b\cdot (a\cdot x)\cdot a=b\cdot a=e\)，即\(a\)也是\(x\)的右逆元。得證。

消去律： \(x=y\)與\(x\cdot a=y\cdot a\)互為充要條件，\(x,y,a\in G\)。

結論：當\(S\)為有限集，在具有封閉性、結合律、單位元的二元組\((S,\cdot)\)里，逆元存在\(\Leftrightarrow\)消去律存在。

證明：

1. 逆元存在\(\Rightarrow\)消去律存在

   結合消去律定義與\(a\cdot a^{-1}=e\)可證。

2. 消去律存在\(\Rightarrow\)逆元存在

   對於\(\forall a\in S\)，建立新二元組\((S'=\{x\cdot a|x\in S\},\cdot)\)。根據封閉性，\(S'\in S\)。

   又\(S\)存在消去律，考慮集合的互異性，不會存在\(x,y\)使得\(x=y\)；同樣的\(S'\)中不會存在值為\(x\cdot a\) 的兩個相同元素即\(|S|=|S'|\)。

   由以上兩點可知\(S=S'\)。因為\(e\in S\)，所以\(e\in S'\)。換而言之\(\exists t\in S\)使得\(t\cdot a=e\)。即\(S\)中有\(a\)的逆元。結論得證。

注意，上述結論用於無限集合中時，只有消去律是逆元的必要條件。

置換群

置換、循環與對換

有限集合到自身的一一映射稱為一個置換，記為置換\(f\)。

置換的不動點值滿足\(f(x)=x\)的“點”（即狀態）。

結論： 有限集\(S\)的所有置換個數為\(|S|!\)。

當\(n\)相等時，置換可以相互運算，並稱之為置換的連接。置換的連接滿足結合律，但不滿足交換律。稱\(I=f^0\)為全等置換。

記一個\(n\)階循環\((a_1,a_2,\cdots,a_n)=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\a_2,a_3,\cdots,a_1\end{pmatrix}\)。循環也稱為輪換。

兩個循環\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)、\((b_1,b_2,\cdots,b_m)\)不相交是指對與\(a_i\;(i\in[1,n])\)，\(\nexists b_j,\;(j\in[1,m])\)使得\(a_i=b_j\)。

1. 任意一個置換可以表示為若干個互不相交的循環的乘積。

   證明：將一個置換看作包含\(n\)的入度、出度都為\(1\)的有向圖，可以發現這個圖必然是有若干個互不干擾的環（特別的，環長可以為\(1\)）構成的，其中，每個環對應一個循環，得證。

2. 將一個置換上下倒換，各循環中元素不變，循環個數也不變。

3. 使置換\(f=f^{T+1}​\)（\(f^T=I​\)）的最小正整數\(T​\)為\(f​\)各循環長度（循環節）的最小公倍數。

對換即將兩個元素互換（長度為\(2\)的輪換）。記作\((a_x,a_y)\)。

一個可以表示成偶數個對換的乘積稱為偶置換，否則稱為奇置換。 顯然，置換的連接滿足

1. 奇置換\(\cdot\)奇置換\(=\)偶置換
2. 偶置換\(\cdot\)偶置換\(=\)偶置換
3. 奇置換\(\cdot\)偶置換\(=\)奇置換
4. 偶置換\(\cdot\)奇置換\(=\)奇置換

置換群

置換群中的元素是一些置換,運算是置換的連接。

軌道（等價類）、穩定子集與穩定化子

原數列集合中的元素\(k\)，在置換群\(G\)中所有置換的像構成的集合叫做\(k\)的軌道或者包括\(k\)的等價類，記作\(k^G\)（也作\(orbit(k)\)、包含\(k\)的等價類\(E_k\)）。

有限集\(X\)的某\(m\)個元素構成了\(X\)的一個子集\(A\)，置換群\(G\)中可以使\(A\)中所有元素不動的置換構成的子集叫做\(A\)的一個穩定子集或穩定集。

特別地，當\(m=1\)時，即\(X\)中的一個元素\(k\)，置換群\(G\)中可以使元素\(k\)不動的置換構成的子集也稱為\(k\)的穩定化子，記作\(G_k\)（也作\(stab(k)\)、不動置換類\(Z_k\)）。

陪集

定義

設\(H\)是\(G\)的子群，對於\(a\in G\)，\(\{a\cdot h|h\in H\}\)表示\(H\)的一個左陪集，記作\(aH\)；\(\{h\cdot a|h\in H\}\)表示\(H\)的一個右陪集，記作\(Ha\)。

性質

由於左右陪集證明方法相似，故除特殊說明，下面證明僅討論都僅考慮左陪集的情況

1. \(\forall a\in G,|aH|=|H|\)

   根據群的消去律，\(G\)中不會有\(x,y\in G\)使得\(a\cdot x=a\cdot y\)。又\(H\in G\)，所以\(H\)中不會有\(x,y\in H\)使得\(a\cdot x=a\cdot y\)。故結論成立。

2. \(a\in aH\)

   因為\(H\)是個群，故\(e\in H\)，故\(a=a\cdot e\in aH\)。

3. \(a\in H\Leftrightarrow aH=H\)

   先說\(aH=H\Rightarrow a\in H\)：因為\(a\in aH=H\)（性質二）,所以\(a\in H\)；

   再說\(a\in H\Rightarrow aH=H\)：

   設\(H=\{x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\}\)。

   因為\(a\in H\), 故\(a^{-1}\in H\)。

   設集合\(H'=a^{-1}\cdot H=\{a^{-1}x_1,a^{-1}x_2,\cdots,a^{-1}x_n\}\)。 顯然\(|H'|=|H|\)。

   又由封閉性可知\(H'\in H\)。，故\(H'=H\)。

   故\(aH=aH'=aa^{-1}H=H\)，得證。

4. \(b\in aH\Leftrightarrow bH=aH\)

   先說\(bH=aH\Rightarrow b\in aH\)：因為\(b\in bH=aH\)（性質二），所以\(b\in aH\)。

   再說\(b\in aH\Rightarrow bH=aH\)：顯然\(b=a\cdot x\;(x\in H)\)，因為\(xH=H\)（性質三），所以\(bH=a\cdot xH=aH\)。

5. \(aH\cap bH\not=\emptyset\Rightarrow aH=bH\)

   設\(c\in aH\cap bH\)，則\(cH=aH=bH\)（性質四）

   換而言之，對\(G\)的子群\(H\),\(H\)的任意兩個左（右）陪集要么相等，要么不相交。

6. \(\cup_{a\in G}\;aH=G\)

   考慮\(e\in H\)，一一枚舉\(a\in G\)，由於\(a\cdot e=a\) ,結合群\(G\)的封閉性，顯然其並集為\(G\)。

相關定理

拉格朗日定理

敘述：設\(H\)是有限群\(G\)的子群，則\(H\)的階整除\(G\)的階（\(\frac{|G|}{|H|}\)=\(H\)不同的陪集數）。

證明：由陪集的性質五、六可證。

軌道-穩定化子定理

敘述：對於一個置換群\(G\)和一個元素\(k\)有\(|k^G|\cdot|G_k|=|G|\)成立。

證明：

1. 先說 \(G_k\)（二元組）是\(G\)的子群：

   單位元： 因為\(e(k)=k\)，所以\(e\in G_k\)。

   結合律：置換的連接滿足結合律

   封閉性：\(\forall s_1,s_2\in G_k, s_1(k)=s_2(k)=k\)，所以\(s_1[s_2(k)]=k\Rightarrow (s_1s_2)(k)=k\)，即置換\(s_1s_2\in G_k\)。

   逆元：置換的連接存在消去律。

   故，\(G_k\)是一個群。又因為\(G_k\)（集合）是\(G\)（集合）的子集，所以\(G_k\in G\)（群）。

2. 考慮所有置換\(f\in G​\)，因為\(\forall s\in G_k,s(k)=k​\)，所以\(\forall s\in fG_k,s(k)=f(k)​\)。

   根據\(k\)的軌道的定義，\(k^G=\{f(k)\ |f\in G\}\), 故\(G_k\)的不同的^[3]左陪集\(fG_k\)的數量為\(|k^G|\)。

3. 由拉格朗日定理，得證。

Burnside 引理

敘述：設\(G\)是目標集\([1,n]\)上的置換群，\(c(f)\)為在置換\(f\)下不動點的個數。若\(G\)將\([1,n]\)划分為\(L\)個等價類，那么

\[L=\dfrac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f) \]

證明：每個軌道對答案貢獻為\(1\)，所以每個點對答案貢獻為\(\dfrac{1}{|k^G|}\)。 由軌道-穩定化子定理

\[L=\sum_{k}\dfrac{1}{|k^G|}=\sum_k\dfrac{|G_k|}{|G|}=\dfrac{\sum_k|G_k|}{|G|}=\dfrac{\sum_{f\in G }c(f)}{|G|} \]

Pólya 計數定理

敘述：設\(G\)是目標集\([1,n]\)上的置換群，設\(x\)是以目標集的排列為元素的集合。 \(m(f)\)表示在置換\(f\)下循環節的個數。如果將\([1,n]\)用\(k\)種顏色分別染色，然后把\(x\)划分為\(L\)個等價類，（\(L\)為本質不同的方案個數），那么

\[L=\dfrac{1}{|G|}\sum_{f\in G}k^{m(f)} \]

證明：如在置換后方案不變，除非在同一個置換節上用同一種顏色。此時不動點個數為\(k^{m(f)}\)。結合_Burnside 引理_的證明即可。

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1. 參考鏈接：《漫談OI中的群論入門》 、《Polya》、 《群論.md》（最好）。 ↩︎

2. 寫得比較隨便，一些解釋大概很牽強，口胡錯了的請斧正！ ↩︎

3. 這里的描述可能有出入。我猜是把“集的不同”理解為“集的不等價”。 ↩︎