開放定址法——平方探測(Quadratic Probing)

為了消除一次聚集，我們使用一種新的方法：平方探測法。顧名思義就是沖突函數F(i)是二次函數的探測方法。通常會選擇f(i)=i²。和上次一樣，把{89,18,49,58,69}插入到一個散列表中，這次用平方探測看看效果，再復習一下探測規則：h_i(x)= ( Hash(x) + F(I) ) % TableSize（I=0,1,2…）

腦內調試一下：49和89沖突時，下一個空閑位置是0號單元。58和18沖突時，i=1也沖突，再試i=2，h₂(58)=(8+4)%10=2是空的可以放。69同理。

 

對於線性探測法而言，我們得避免元素幾乎填滿的情況，因為這時候性能會急劇降低。對於平方探測法，這會更糟：如果表超過一半被填滿，那當表的規模不是素數時，甚至在表被填滿一般之前就已經不能一下找到空單元了，需要試探好幾次才能找到一個空單元。原因是表最多有一半位置可以用來解決沖突。憑什么如此斷言呢？Talk is cheap,show me your….proof.

定理

如果使用平方探測，且表的規模是素數，那么當表至少有一半是空的時候，總能插入新的元素。

 

我們假設表的Size是一個大於3的素數，直接拿着定理證明有點讓人不知所措，那把這個定理的證明轉化為：證明“前$\frac{\mbox{Si}ze}{2}$個備選位置是互異的”，然后用反證法。從所有前$\frac{\mbox{Si}ze}{2}$個的位置里選兩個：（ h(x) + i² ）%Size和（ h(x) + j² ）%Size,其中 0 < i，j$ \leq  \frac{\mbox{Si}ze}{2}$。假設這兩個位置相同，且i ≠ j，然后讓他們位置相等，推出矛盾就行了，因為都mod Size，根據等式性質我們只需要考察括號里的項就行了。

 　　（h(x) + i²）=（h(x) + j²）

　=>   i² = j² 

　=>  (i-j)(i+j) = 0

前面說了i ≠ j,所以只可能i = - j。但是這和他們的定義域矛盾，所以也是不可能的。所以前一半位置互異，可供選擇，任何元素都有$\frac{\mbox{Si}ze}{2}$個可能被放的位置。綜上，如果最多有一半的位置可用，那么空閑單元總是能找到的。反過來講，哪怕表里有一半+1個位置被填上，那么插入都有可能失敗（雖然這比較偶然，但還是有可能的），這一點是十分重要的，要拿小本本記下來，說不定校招或考研就出題了哈哈哈。另外保證Size是素數也是非常重要的，如果不是的話，那遭遇沖突時可供選擇的空單元個數會銳減到你難以置信的地步，遠比一半少，這樣一來，我們的戰略縱深就太小了，難以迂回，這種情況沒人希望見到。

 

 

Size=16的時候，找備選的單元只能取i=1,2,3，也就是距離沖突單元1,4,9個單位的位置了。

 

另外，在開放定址的散列表里，我們之前意義上的刪除操作是不能進行的，因為某個數對應的單元可能已經引起過沖突了，然后他探測跑到別的位置了。比如我們要刪除69，你find一下，定位到9，發現那躺着89，那我們只能跟着平方探測的思路再找找9+1²，結果發現還不對，在那的是58。得，繼續找吧，試試9+2^2，這才找到。想想吧，這才Size=10就這么費勁了，那企業級軟件要處理千萬級甚至億級的數據怎么辦，比如頭條app的數據量，那程序還不跑到天荒地老。。。因此開放定址散列表需要懶惰刪除。

 

談談怎么實現吧，先給出類型聲明。在這里我們不用結構體數組，而使用散列表單元的數組，而且單元是動態分配地址這和分離鏈接一樣。

#ifndef HashQuad_h
#define HashQuad_h
typedef unsigned int Index;
typedef Index Position;
struct HashTb1;
typedef struct HashTb1 *HashTable;

HashTable Init(int size);
void DestroyTable(HashTable H);
void Insert(int key, HashTable H);
Position Find(int key,HashTable H);
int Retrieve(Position P);
HashTable ReTable(HashTable H);
#endif /* HashQuad_h */

enum KindOfEntry{
    Legitimate,
    Empty,
    Deleted
};

struct HashEntry {
    int value;
    enum KindOfEntry Info;
};

typedef struct HashEntry Cell;

/*Cell *TheCells will be an array of 
 HashEntry cells,allocated later
 */
struct HashTb1 {
    int TableSize;
    Cell *TheCells;
};

 

順便一說，Hash函數還是設置為簡單的%Size

Index Hash(int key,int size) {
    return key%size;
}

 

初始化由2步組成：分配空間，然后將每個單元的Info設置為Empty。

#define aPrime 307
#define MinTableSize 5

HashTable Initial(int size){
    HashTable H;
    int i;
    if (size<MinTableSize) {
        printf("Table size too small\n");
        return NULL;
    }
    
    //Allocate table
    H=(HashTable)malloc(sizeof(struct HashTb1));
    H->TableSize=aPrime;
    
    //Allocate array of cells
    H->TheCells=(Cell*)malloc(sizeof(Cell)*H->TableSize);
    
    //Allocate list headers
    for (i=0; i<H->TableSize; i++)
        H->TheCells[i].Info=Empty;

    return H;
}

 

和分離鏈接一樣，Find返回key在散列表里的單元號碼。而且因為被標記了Empty，我們想表達查找失敗也很容易。

Position Find(int key,HashTable H){
    Position cur;
    int CollisionNum=0;
    cur=Hash(key,H->TableSize);
    while (H->TheCells[cur].Info != Empty &&
           H->TheCells[cur].value!= key)
    {
        cur+= (++CollisionNum<<1) - 1;
        if (cur>=H->TableSize)
            cur-=H->TableSize;
    }
    return cur;
}

第8行到第10行是進行平方探測的快速方法，因為在實現的時候不太好判斷進行到第幾次探測了，所以直接算i^2不容易，另設個變量監測倒也可以，不過那樣挺麻煩的，還占用空間，還多了一次監測變量的++，還多了一次判斷，還多了一次平方運算，尤其是算平方開銷太大了。所有的這些都會讓效率變低。所以我們要把平方計算轉化為單純的+-計算，用i² - ( i - 1 )²算出他們之間的差距是2 * i - 1，所以F(i)=F( i - 1 ) + 2 * i - 1這個幾乎全是加減，乘法用移位代替速度就快多了。如果新的定位越過數組，那么可以通過-Size把它拉回到數組的范圍里。這比通常辦法快多了，因為他避免了看似要做的乘法和平方。第行的判斷順序很重要，別翻過來，不然短路性質就用不上了。

 

然后說插入，如果Key存在，就什么也不做，否則就把插入元素放在Find的位置。

void Insert(int key, HashTable H){
    Position P=Find(key, H);
    if (H->TheCells[P].Info != Legitimate)
    {
        H->TheCells[P].Info=Legitimate;
        H->TheCells[P].value=key;
    }
}

 

雖然平方探測法排除了一次聚集，但是散列到同一位置上的元素將探測相同的備選單元，這么說有點抽象，就是探測的時候都會踩同樣的坑，比如說89，49，69這三個數往散列表里放，h₀(49)撞到89了，試試i=1，可以了。69撞到89了然后試試i=1,算完之后h₁(69)=0和h₁(49)又撞了，這就叫“探測到相同的備選單元”，再試一次69才被安置。想想規模更大的表，相撞次數會更多，用f(i)=i²探測的時候分批扎堆，這就叫二次聚集，和之前相比，不是0，1，2，3這樣連着一整塊扎堆，而是在i=1，4，9，16附近扎堆。這是這兩種聚集的區別。

 

二次聚集是理論上的一個缺憾，下一篇里我們繼續討論如何排除這個缺憾，從而對散列表沖突問題的排解更為高效和優美。不過這需要花費另外一些時間去做乘除法，比平方探測單純的加減法慢一些，有利有弊吧，實際場景里因地制宜地選擇不同模型就好。