前言
前世方法
- 穿針引線法的前世--零點分區間討論法
說起穿針引線法，不得不說零點分區間討論法，比如碰到高次不等式，也有人這樣來解。
比如解不等式\((x+1)(x-2)(x+3)>0\)，為便於表述令\(P=(x+1)(x-2)(x+3)\)，
先找到零點\(x=-3，x=-1，x=2\)，然后分區間列表得到
由表格就可以得到不等式的解集\(\{x\mid -3<x<-1 或x>2\}\)。
這和絕對值不等式的解法中的零點分區間討論法是一樣的。后來有人對此方法做了改進，就得到了穿針引線法。
方法今生
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“穿針引線法”也叫“數軸標根法”，准確的說，應該叫做“序軸序軸：省去原點和單位，只表示數的大小的數軸。序軸上標出的兩點中，左邊的點表示的數比右邊的點表示的數小。\(\;\;\)標根法”，或“數軸穿根法”或“穿根法”。
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當高次不等式\(f(x)>0(或<0)\)的左邊整式，分式不等式\(\cfrac{\phi(x)}{h(x)}>0(<0)\)的左邊分子、分母能分解成若干個一次因式的積\((x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)\)的形式，可把各因式的根標在序軸上，形成若干個區間，最右端的\(f(x)\)，\(\cfrac{\phi(x)}{h(x)}\)的值必須為正值，從右往左通常為正值、負值依次相間，這種解不等式的方法稱為序軸標根法。為了形象地體現正負值的變化規律，可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應的點，穿過最后一個點后就不再變方向，這種畫法俗稱“穿針引線法“。很顯然，這種方法體現了數形結合思想，所以用起來很方便。
使用步驟
我們以穿針引線法解不等式\(x^3-x+2>2x^2\)為例，加以說明。
第一步：一端化為\(0\)；先將不等式轉化為\(f(x)>0\)為什么呢，其實這種方法是利用了高中數學中的“函數與方程”思想，做出函數\(y=f(x)\)和數軸\(y=0\)，利用兩個函數圖像的交點來解讀不等式。所以右端必須化為\(0\)。比如我們將不等式\(x^3-x\)\(+2\)\(>2x^2\)轉化為\(x^3\)\(-2x^2\)\(-x+\)\(2>0\)\(\quad\)\((<0)\)的形式。
第二步：分解調系數；將不等式\(x^3-2x^2-x+2>0\)分解務必將每一個因式的最高次項的系數調整為正值，比如某不等式分解后為\((2-x)\)\((x+1)\)\((x+3)\)\(>0\)，就必須調整為\((x-2)\)\((x+1)\)\((x+3)\)\(<0\)，附初高中因式分解方法\(\quad\)為\((x-2)\)\((x-1)\)\((x+1)>0\)；
第三步：變等求零點；將上述的不等式\(f(x)>0\)的不等號變成等號即\(f(x)=0\)，求出函數\(f(x)\)的零點；如令\((x-2)(x-1)(x+1)=0\)；得到零點為\(x=-1，x=1，x=2\)
第四步：序軸並標根；在序軸上從左到右按照大小依次標出各根\(-1，1，2\)。
第五步：划線穿序軸；以序軸為標准，從“最右端的根\(2\)”的右上方穿過序軸，往左下畫線，然后又穿過“次右根\(1\)”上去，一上一下依次穿過各根。
第六步：讀圖寫解集；觀察不等號，如果不等號為\(>\)，則取數軸上方，穿根線以內的范圍；如果不等號為\(<\)，則取數軸下方，穿根線以內的范圍。
比如不等式\((x-2)(x-1)(x+1)>0\)的解集為\(\{x\mid -1<x<1或x>2\}\)。
- 可以簡單記為秘籍口訣：自上而下，自右而左，奇穿偶不穿；
注意事項
使用“穿針引線法”時，常犯以下的幾種錯誤：
①如將不等式分解為\((x+2)(1-x)(x+3)>0\)解直接穿根，錯在需要將其調整為\((x+2)(x-1)(x+3)<0\)再穿根；
當然不等式\((x+2)(x^2-1)<0\)也不能直接穿根，因為沒有分解到最后；
②沒有分清重根的奇偶，比如不等式\((x-0.5)^2(x-1)(x-2)^3>0\)，其中根\(x=0.5\)是二次重根(偶次重根)，根\(x=1\)是一次重根(奇次重根)，根\(x=2\)是三次重根(奇次重根)，故穿根時，在\(x=2\)和\(x=1\)出都是一次穿過，而在根\(x=0.5\)處，是穿而不過，就像蜻蜓點水一樣。
③出現不能再分解的二次因式時，簡單地放棄“穿針引線”，如\(x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0\)也可以用，先化為\(x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0\)，注意到二次三項式\(x^2+x+1\)由於其\(\Delta <0\)，故\(x^2+x+1>0\)恆成立，所以原不等式等價於\(x(x+1)(x-2)(x-1)>0\)，穿針引線法如右圖得到解集\(\{x\mid x<-1或0<x<1或x>2\}\)。
④以為只可以用來解高次不等式，不能用來解分式不等式，比如解分式不等式\(\cfrac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)}>0\)，利用符號法則，就可以等價轉化為\(x(x+1)(x-2)(x-1)>0\)，故解集同上。具體解分式不等式時，我們甚至不需要將其轉化為整式不等式，直接穿根就行了。
適用范圍
可以用來解高次不等式和分式不等式，當然也可以解一次和二次不等式。等到使用熟練后，我們利用心算能力就可以畫圖寫出解集了。
對應練習
可以使用轉化法或者穿根法求解；
分析：先轉化為\(\left\{\begin{array}{l}{x<\cfrac{1}{x}①}\\{\cfrac{1}{x}<x^2②}\end{array}\right.\)，再用穿根法分別求解，
解①\(\cfrac{x^2-1}{x}<0\)得到\(x<-1\)或\(0<x<1\)；解②\(\cfrac{x^3-1}{x}>0\)得到\(x<0\)或\(x>1\)，
①②求交集得到，解集為\((-\infty，-1)\).
提示：\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)
提示：\((-\infty,-1)\cup(1,2)\)
提示：\((-\infty,-2]\cup(0,3]\)
提示：\((-2,4)\)
提示：\([-2,2]\cup\{6\}\);
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3、穿根法的另類應用
比如函數\(f(x)=(x+1)^2\cdot (x-2)\)，我們可以做出函數的圖像，