特殊分段函數的圖像畫法

寫在前面

高三數學中有幾類比較特殊的分段函數，它們的圖像畫法很特殊，特做以收集整理。其中需要注意的是，分段函數的分支\(f(x)=f(x+k)\)和\(f(x)=f(x)+k\)和\(f(x)=af(x+k)\)的圖像的做法。

周期性+左右平移

例1 【2016鳳中模擬】【分段函數，函數的周期性】

已知\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且\(f(x) =\begin{cases}2^{-x}-1， &x\leq 0 \\f(x-1) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)有兩個不同實根，求\(a\)的取值范圍\((-\infty，1)\)。

分析：本題目的解題思想是數形結合，這一點倒不是很難，都能想到在同一個坐標系中做出分段函數\(y=f(x)\)和函數\(y=x+a(a是動態的)\)，

關鍵是怎么做出分段函數\(f(x)\)的圖像？ 我們這樣分析，

分段函數的第一段圖像我們應該能做出來，利用函數圖像變換作圖法，就可以了。

先做函數\(y=2^x\)，再做函數\(y=2^{-x}\)，再做函數\(y=2^{-x}-1\)，在此基礎上截取\(x\leq 0\)，這樣第一段函數的圖像就做出來了。

第二段函數圖像的關系是\(f(x)=f(x-1)(x>0)，\)意味着我們只需要將剛才做出來的第一段函數圖像向右平移一個單位，

平移后只截取\((0，1]\)段，這樣就得到了\((0，1]\)上的函數圖像，

那么\((1，2]\)上的函數圖像怎么做呢？此時只需要以\((0，1]\)段上的函數圖像為藍本，平移一個單位就得到了\((1，2]\)上的函數圖像。

再以此類推，分別得到\((2，3]\)、\((3，4] 、\cdots\)上的函數圖像，所以分段函數\(f(x)\)的圖像如藍色所示。

函數\(y=x+a\)的圖像如圖中的紅色所示，注意其斜率\(k=1\)，\(y\)截距\(a\)是變化的，由圖能很容易看出來，

要使藍色的圖形和紅色的圖形有兩個交點，只需\(a<1\)即可。故\(a\)的取值范圍\((-\infty，1)\)。

感悟反思：
1、函數與方程的相互等價轉化，數形結合思想；

2、分段函數的圖像做法；

3、分段函數中只包含周期性的圖像做法；

4、手工作圖驗證圖像做法：【作圖工具：Geogebra】利用周期性得到函數每段上的解析式，然后分段作圖。

如\(f(x) = \begin{cases}2^{-x}-1 &x\leq 0\\ 2^{1-x}-1 &0< x \leq 1 \\ 2^{2-x}-1 &1< x\leq 2 \\ 2^{3-x}-1 &2< x\leq 3 \\ 2^{4-x}-1 &3< x\leq 4\end{cases}\)，

周期性+橫軸伸縮

暫無例題。

周期性+縱軸平移

例3 【同時涉及平移和周期】

函數\(f(x) = \begin{cases}x^2 &0\leq x\leq 1 \\ f(x-1)+1 &x>1 \end{cases}\)，求作函數圖像。

分析：圖像如下，

周期性+縱軸伸縮

例4 【2016鳳中模擬】

已知函數\(f(x)=\begin{cases}1-|x+1|，&-2\leq x\leq 0 \\ 2f(x-2) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)在區間\([-2，4]\)內有三個不同實根，求\(a\)的取值范圍(\(-2<a<0\)或\(a=1\))

思路：在同一個坐標系中做出分段函數\(y=f(x)(x\in[-2，4])\)和函數\(y=x+a\)(\(a\)是動態的)，

利用數形結合求解。 關鍵是怎么做出分段函數\(f(x)\)的圖像？

先做出\(x\in[-2，0]\)上的函數\(f(x)=1-|x+1|\)的圖像， 具體可以這樣做，

\(|x|\longrightarrow|x+1|\longrightarrow-|x+1|\longrightarrow1-|x+1|\)，再截取得到\(x\in[-2，0]\)上的圖像即可。

難點是第二段\(f(x)=2f(x-2)(x>0)，\)此時我們可以這樣理解，

這樣的效果是由\(f(x)=f(x-2)(周期變換)\)和\(y=2f(x)(振幅變換)\)疊加而成的，

因此我們可以將\(x\in[-2，0]\)上的函數\(f(x)=1-|x+1|\)的圖像先向右平移2個單位，

然后再將縱坐標擴大2倍， 這樣就得到了\(x\in[0，2]\)上的函數圖像；

再將\(x\in[0，2]\)上的函數圖像先向右平移2個單位，然后再將縱坐標擴大2倍，

這樣就得到了\(x\in[2，4]\)上的函數圖像；整個\(x\in[-2，4]\)上的函數圖像如右圖的橘黃色部分所示；

函數\(y=x+a(a動態)\)的圖像如圖中的綠色直線所示，讓這條綠色的直線沿\(y\)軸平行移動，

根據兩個圖像有三個交點，就可以得到\(a\)的取值范圍(\(-2<a<0\)或\(a=1\))。

感悟反思：

1、函數與方程的相互等價轉化，數形結合思想；

2、分段函數的圖像做法；

3、分段函數中包含周期性和振幅變換的圖像做法；

例5 【2017•衡陽模擬】已知函數\(f(x)=\begin{cases}1-|x-1|，&x<2\\2f(x-2)，&x\ge 2\end{cases}\)，\(g(x)=2^{\frac{x-1}{2}}\)，設方程\(f(x)=g(x)\)的根從小到大依次為\(x_1，x_2，\cdots，x_n，\cdots，n\in N*\)，則數列\(\{f(x_n)\}\)的前\(n\)項和為________。

分析：本題目的難點較多，

難點1：作函數\(y=f(x)\)的圖像，第一段\(y=1-|x-1|，x<2\)是后續作圖的基礎，第二段上滿足\(f(x)=2f(x-2)\)，

是函數的周期和振幅同時起作用，意味着區間\([2，4]\)上的圖像是把區間\([0，2]\)上的圖像先做以平移2個單位，

然后振幅擴大2倍；那么區間\([4，6]\)上的圖像是把區間\([2，4]\)上的圖像先做以平移2個單位，然后振幅擴大2倍；

以此類推，如圖的藍色部分，再做函數\(g(x)=2^{\frac{x-1}{2}}=(\sqrt{2})^{x-1}\)，

是把函數\(y=(\sqrt{2})^x\)的圖像向右平移1個單位得到，如圖中的紅色部分。

難點2：解方程，\(f(x)=g(x)\)的解，即兩個圖像的交點的橫坐標，依次為\(x_1=1、x_2=3、x_3=5、x_4=7、\cdots\)

難點3：數列\(\{f(x_n)\}\)的前\(n\)項依次為函數值\(f(1)=1\) ，\(f(3)=2\)，\(f(5)=4\)，\(f(7)=8\) ，\(\cdots\)，

剛好組成了首項為\(1\)，公比為\(2\)的等比數列，故其通項公式為\(f(x_n)=a_n=2^{n-1}\)，則其前\(n\)項和為\(S_n=\cfrac{1-2^n}{1-2}=2^n-1\)。

需要轉化划歸

例6 【需要寫出分段函數的題目】

已知定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足：

①\(f(x+2)=2f(x)\)，

②\(x\in[-1，1]，f(x)=\cos\cfrac{\pi}{2}x\)，

記函數\(g(x)=f(x)-log_4^{\;(x+1)}\)，則函數\(g(x)\)在區間\([0，10]\)內的零點個數是【10】個。

分析：①“定義在\(R\)上”說明了定義域，

②“\(f(x+2)=2f(x)\)”所說是周期性和伸縮性的結合，

③“\(x\in[-1，1]，f(x)=\cos\cfrac{\pi}{2}x\)”是說在限定區間上的函數解析式，是作圖的起始依據。

④“函數\(g(x)\)在區間\([0，10]\)內的零點個數”需要轉化為方程\(f(x)-log_4{\;(x+1)}=0\)的根的個數，

再轉化為兩個函數“\(y=f(x)\)”和“\(y=log_4^{\;(x+1)}\)”的圖像交點的個數問題。

而做函數“\(y=log_4{\;(x+1)}\)”的圖像用變換法，做函數“\(y=f(x)\)”的圖像就需要用以上剛才解析的各種性質。

至此，本題的思路基本就清晰多了。

【詳細解析】

首先需要寫出函數\(f(x)\)的分段函數形式的解析式，

\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{cos\cfrac{\pi}{2}x ，-1\leq x\leq 1}\\{2cos\cfrac{\pi}{2}(x-2) ，1< x \leq 3}\\{2^2cos\cfrac{\pi}{2}(x-4) ，3< x \leq 5}\\{\cdots}\\{2^5cos\cfrac{\pi}{2}(x-10) ，9< x\leq 10}\end{array}\right.\)

由此得到\(f(x) = \begin{cases}cos\cfrac{\pi}{2}x &-1\leq x \leq 1 \\ 2f(x-2) &x >1 \end{cases}\)，

重點說明第二個表達形式的來源，由\(f(x+2)=2f(x)，x\in [-1，1]\)，則\(x+2\in [1，3]\)，

令\(x+2=t\in [1，3]\)，則\(x=t-2\)，故\(f(t)=2f(t-2)\)，即\(f(x)=2f(x-2)，x\in[1，3]\)

同理得到\(x\in [3，5]\)時，\(f(x)=2f(x-2)\)，

故分段函數的解析式為\(f(x) = \begin{cases}cos\cfrac{\pi}{2}x &-1\leq x \leq 1 \\ 2f(x-2) &x >1 \end{cases}\)，

故做出圖像如下，

由圖可知，兩個函數“\(y=f(x)\)”和“\(y=log_4^{\;(x+1)}\)”的圖像交點的個數為10個，

故函數\(g(x)\)在區間\([0，10]\)內的零點個數是【10】個。

典例剖析

例7 (模擬)已知函數\(f(x)=\begin{cases}sin\pi x，&x\in[0，2]\\ \cfrac{1}{2}f(x-2)，&x\in(2，+\infty)\end{cases}\)，試做出其圖像。

分析：圖像如下，

例8 【2019高三理科數學第二次月考第11題】

函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{log_2(x+2)， x\leq 0}\\{f(x-1)，x>0}\end{array}\right.\)，則方程\(f(x)-\cfrac{1}{3}x=0\)的根的個數為【3】個。

故由圖可知，函數\(y=f(x)\)與\(y=\cfrac{1}{3}x\)的圖像交點有\(3\)個。

故方程\(f(x)-\cfrac{1}{3}x=0\)的根的個數為【3】個。

例8 【學生問題】

定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足\(f(x)+f(x+4)=16\)，當\(x\in (0，4]\)時，\(f(x)=x^2-2^x\)；則函數\(f(x)\)在\([-4，2016]\)上的零點個數是【B】

$A、504$ $B、505$ $C、1008$ $D、1009$

分析：由\(f(x)+f(x+4)=16\)，得到\(f(x+4)+f(x+8)=16\)，兩式相減得到，

\(f(x+8)=f(x)\)，即\(T=8\)；

當\(x\in (0，4]\)時，\(f(x)=x^2-2^x\)已經知道，關鍵是求得\(x\in (4，8]\)上的解析式；

當\(0<x\leq 4\)，\(4<x+4\leq 8\)，

故\(f(x+4)=16-f(x)\)，令\(x+4=t\)，則\(x=t-4\)，則\(t\in (4，8]\)

故\(f(t)=16-f(t-4)\)，\(t\in (4，8]\)

即\(f(x)=16-f(x-4)\)，\(x\in (4，8]\)

則周期函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2-2^x，0<x\leq 4}\\{16-(x-4)^2-2^{x-4}，4<x\leq 8}\end{array}\right.\)

接下來的難點是做函數\(f(x)\)在一個周期上的圖像，

重點是做\(y=x^2-2^x，0<x\leq 4\)的圖像。

結合上圖可以做出函數\(y=x^2-2^x，0<x\leq 4\)的圖像。

再做出\(x\in (4，8]\)時的\(f(x)\)的圖像。

在區間\([0，2016]\)上，包含\(\cfrac{2016}{8}=252\)個周期，每個周期上的零點有兩個，

故有\(252\times2=504\)個，但是在\([-4，0)\)上還有一個，

故共有\(505\)個零點，故選\(B\)。

例9 【2019屆高三理科數學三輪模擬訓練題】已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^3，x\leq a}\\{x^2+2x，x>a}\end{array}\right.\)，若存在實數\(b\)，使得函數\(g(x)=f(x)+b\)有兩個零點，則\(a\)的取值范圍是【】

$A.(-\infty，-1)\cup(-1，0)\cup(2，+\infty)$

$B.(-\infty，-2)\cup(-1，0)\cup(1，+\infty)$

$C.(-\infty，0)\cup(1，+\infty)$

$D.(-\infty，-1)\cup(2，+\infty)$

法1：分析：本題目需要先做出函數的圖像，如下圖所示，同時要明白參數\(a\)的作用，

存在實數\(b\)，使得函數\(g(x)=f(x)+b\)有兩個零點，意味着直線\(y=-b\)與分段函數\(f(x)\)的兩段都有交點，

情形一，兩段函數都是單調的，此時需要\(a^2+2a<a^3\)，解得\(a>2\)或者\(-1<a<0\)；

情形二，第二段函數不單調，此時需要\(a<-1\)；

綜上所述，\(a\in (-\infty，-1)\cup(-1，0)\cup(2，+\infty)\)，故選\(A\)。

法2：做出分段函數的圖像，使用排除法，令\(a=\cfrac{3}{2}\)，和\(a=-\cfrac{1}{2}\)驗證，可以排除\(B\)，\(C\)，\(D\)，故選\(A\)。

解后反思：①將題目中的條件“存在實數\(b\)，使得函數\(g(x)=f(x)+b\)有兩個零點”更改為函數\(f(x)\)是單調遞增的函數，則\(a\)的取值范圍為\(\{a\mid a=-1或0\leq a\leq 2\}\)；

②將題目中的條件“存在實數\(b\)，使得函數\(g(x)=f(x)+b\)有兩個零點”更改為函數\(f(x)\)不是單調遞增的函數，則\(a\)的取值范圍為\(\{a\mid a<-1或-1<a<0或 a>2\}\)；

例10 【2019屆高三理科數學三輪模擬訓練題】已知定義在\(R\)上的偶函數\(f(x)\)滿足\(f(1-x)=f(1+x)\)，且當\(0\leq x\leq 1\)時，\(f(x)=1-x^2\)，若直線\(y=x+a\)與曲線\(y=f(x)\)恰有三個交點，那么實數\(a\)的取值集合為【】

$A.(k+1，k+\cfrac{5}{4})(k\in Z)$

$B.(2k+1，2k+\cfrac{5}{4})(k\in Z)$

$C.(2k-\cfrac{5}{4}，2k-1)(k\in Z)$

$D.(k-\cfrac{5}{4}，k-1)(k\in Z)$

分析：待后補充。

例11 【2019屆高三理科數學三輪模擬訓練題】已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{log_2x，x>1}\\{f(x+3)，x\leqslant 1}\end{array}\right.\)，則\(f(-2)\)=________.

法1：由\(f(x)=f(x+3)\)，則函數有類周期性，\(T=3\)，故\(f(-2)=f(1)=f(4)=log_24=2\)。

法2：用函數的圖像，提醒注意這類函數的圖像的做法；

借助圖像可知，\(f(-2)=2\)。

例12 【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】已知函數\(f(x)=x-int(x)\)，\(x\geqslant 0\)，其中\(int(x)\)表示實數\(x\)的整數部分，如\(int(1.4)=1\)，\(int(2.6)=2\)，若函數\(g(x)=f(x)-ax+\cfrac{1}{2}\)在區間\([1，2)\)上有且僅有\(1\)個零點，則實數\(a\)的取值范圍是【】

$A.(-\infty，\cfrac{3}{4}]$ $B.[\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{4}]$ $C.[\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{4})$ $D.[\cfrac{1}{2}，+\infty)$

分析：先將\(y=g(x)\)在區間\([1，2)\)上有且僅有\(1\)個零點，

轉化為\(y=f(x)+\cfrac{1}{2}\)與\(y=ax\)在區間\([1，2)\)上有且僅有\(1\)個交點，

接下來在同一個坐標系中做出兩個函數的圖像，由圖像可知，

當直線\(y=ax\)經過點\((1，\cfrac{1}{2})\)和點\((2，\cfrac{3}{2})\)時是兩種臨界狀態，

故要使得\(y=f(x)+\cfrac{1}{2}\)與\(y=ax\)在區間\([1，2)\)上有且僅有\(1\)個交點，

則必須滿足\(a\in [\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{4})\)，故選\(C\)。

例13 【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】已知函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，且滿足\(f(x-2)=f(x+2)\)，當\(x\in (0，2)\)時，\(f(x)=ln(x^2-x+1)\)，則方程\(f(x)=0\)在區間\([0，8]\)上的解的個數是【】

$A.3$ $B.5$ $C.7$ $D.9$

法1：代數方法求解，當\(x\in (0，2)\)時，\(f(x)=ln(x^2-x+1)\)，令\(f(x)=0\)，則\(x^2-x+1=1\)，解得\(x=1\)，

又由於\(f(x-2)=f(x+2)\)，則函數\(f(x)=f(x+4)\)，即\(T=4\)，又函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，

則在區間\(x\in [-2，2]\)，\(f(-1)=f(1)=0\)，\(f(0)=0\)，\(f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2)\)，則\(f(2)=0\)，

所以\(f(-1)=f(1)=f(0)=f(2)=f(-2)=0\)，\(f(3)=f(-1)=0\)，\(f(4)=f(0)=0\)，\(f(5)=f(1)=0\)，

\(f(6)=f(2)=0\)，\(f(7)=f(-1)=0\)，\(f(8)=f(0)=0\)，故方程\(f(x)=0\)在區間\([0，8]\)上的解有\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)共\(9\)個，故選\(D\).

法2：數形結合求解，需要注意的是，由奇函數得到\(f(0)=0\)，由周期性和奇偶性得到\(f(2)=f(-2)=0\)，解方程得到\(f(1)=f(-1)=0\)，

做出函數\(f(x)\)的圖像如下圖所示，

由圖像可知，方程\(f(x)=0\)在區間\([0，8]\)上的解有\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)共\(9\)個，故選\(D\).

例12 【2019年高考數學試卷理科新課標Ⅱ第12題】設函數\(f(x)\)的定義域為\(R\)，滿足\(f(x+1)=2f(x)\)，且當\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)，若對於任意\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)，則\(m\)的取值范圍是【】

$A.(-\infty，\cfrac{9}{4}]$ $B.(-\infty，\cfrac{7}{3}]$ $C.(-\infty，\cfrac{5}{2}]$ $D.(-\infty，\cfrac{8}{3}]$

分析：要想弄清楚這類題目的求解，最好先理解題目中給定的條件的目的，

給定條件“\(f(x+1)=2f(x)\)”是為了讓你用來求解其他區間上的解析式，以便於求解或作圖；

給定條件“\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)”，是我們作圖或者求其他區間上的解析式的基礎；因此我們需要先求得函數的解析式；

給定條件“\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)”，是讓我們做出函數\(y=f(x)\)的圖像和\(y=-\cfrac{8}{9}\)的圖像，從圖像上判斷，在函數\(y=f(x)\)的哪一段上滿足\(f(x)\)的圖像一直在直線\(y=-\cfrac{8}{9}\)的上方。

解析：令\(x+1=t\)，則\(x=t-1\)，即給定條件\(f(x+1)=2f(x)\)變形為\(f(t)=2f(t-1)\)，

即\(f(x)=2f(x-1)\star\)，這是我們下來變換要使用的重要的表達式；

由於\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)①，

則當\(x\in (1，2]\)時，\(x-1\in (0，1]\)，則由\(\star\)和①式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\)②；

當\(x\in (2，3]\)時，\(x-1\in (1，2]\)，則由\(\star\)和②式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2\times 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3)\)③；

以下區間的解析式求解用不上，不過我們還是看看，

當\(x\in (3，4]\)時，\(x-1\in (2，3]\)，則由\(\star\)和③式得到，此時\(f(x)=2f(x-1)=2\times 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4)\)④；

同理，我們還可以求得\(x\in (-1，0]\)時的解析式；

則當\(x\in (-1，0]\)時，\(x+1\in (0，1]\)，則由\(f(x+1)=2f(x)\)得到，即\(f(x)=\cfrac{1}{2}f(x+1)=\cfrac{1}{2}x(x+1)\)⑤；

在坐標系中做出分段函數在區間\((-1，3]\)上的圖像以及直線\(y=-\cfrac{8}{9}\)，

由圖像可知，我們求解方程\(4(x-2)(x-3)=-\cfrac{8}{9}\)，解得\(x=\cfrac{7}{3}\)或\(x=\cfrac{8}{3}\)(結合圖像舍去)

即\(m=\cfrac{7}{3}\)，故選\(B\)。

解后反思：

• 1、本題目涉及到的知識點比較多：分段函數，求解析式，換元法，二次函數，數形結合等等；

• 2、對表達式\(f(x)=2f(x-1)\)的理解，它是兩種變換，比如平移變換\(f(x)=f(x-1)\)和振幅變換\(f(x)=2f(A)\)的融合，理解了本題目后，以后碰到類似題目，我們就可知這樣理解，\(f(x-1)\)的意思是將基礎圖像\(y=x(x-1)\)向右平移一個單位，再乘以\(2\)，意思是在原來平移的圖像的基礎上在\(y\)軸方向擴大\(2\)倍，這樣做圖像就快多了。

• 3、我們還可以不詳細求解各區間段上的解析式，而利用圖像直接寫出解析式。比如向右平移一次后我們知道，函數圖像經過點\((1，0)\)和\((2，0)\)，則解析式為\(y=a(x-1)(x-2)\)，且知道最低點為\((\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{2})\)，可知\(a=2\)，即\(x\in (1，2]\)時，\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)；

• 4、能不能不做變換，直接利用\(f(x+1)=2f(x)\)來求解析式呢？也可以，不過你必須始終緊緊盯住自變量\(x\)的取值不放，

比如\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)，由\(f(x+1)=2f(x)\)，先求得\(f(x+1)=2x(x-1)\)，注意到\(x+1\in (1，2]\)，要求解\(x\in (1，2]\)上的解析式，還得換元，令\(x+1=t\in (1，2]\)，則\(x=t-1\)，代入\(f(x+1)=2x(x-1)\)，變形得到\(f(t)=2(t-1)(t-2)\)，\(t\in (1，2]\)，即\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)，\(x\in (1，2]\).

• 5、注意函數的解析式的寫法和理解。

形式一：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2(x-1)(x-2)，x\in(1，2]}\\{4(x-2)(x-3)，x\in(2，3]}\\{8(x-3)(x-4)，x\in(3，4]}\\{\cdots，\cdots}\end{array}\right.\)

形式二：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2f(x-1)，x>1}\end{array}\right.\)

例6 【2020人大附中高一試題第18題】對於函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sin\pi x，x\in[0,2]}\\{\cfrac{1}{2}f(x-2)，x\in (2,+\infty)}\end{array}\right.\) 現有下列結論：

①任取\(x_1,x_2\in [2，+\infty)\)，都有\(|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant 1\)；

②函數\(f(x)\)在\([4,5]\)上先增后減；

③函數\(y=f(x)-ln(x-1)\)有\(3\)個零點；

④若關於\(x\)的方程\(f(x)=m(m<0)\)有且只有兩個不同的實根\(x_1\)，\(x_2\)，且\(x_1+x_2=3\)；

其中正確結論的序號為_______________(寫出所有正確命題的序號)。

分析：注意此分段函數的圖像的做法，第一段\(y=\sin\pi x\)，\(x\in[0,2]\)是做整個分段函數圖像的關鍵和起始部分；

\(f(x)=\cfrac{1}{2}f(x-2)\)，\(x\in (2,+\infty)\)，表示周期性和縱軸的伸縮性的綜合使用，故將第一段向右平移\(2\)個單位，然后縱坐標壓縮\(\cfrac{1}{2}\)，

其他部分的函數圖像都仿照這個思路完成即可；效果圖如下；

故①②③④都是正確的；