破解特殊函數的解析式和圖像

前言

周期性+左右平移

例1 已知\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且\(f(x) =\begin{cases}2^{-x}-1， &x\leq 0 \\f(x-1) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)有兩個不同實根，求\(a\)的取值范圍\((-\infty，1)\)。

【法1】：基礎作圖法，利用給定的關系式得到函數在每一段上的解析式，然后分段作圖。由\(f(x)=f(x-1)\)可知\(T=1\)；

當\(0<x\leqslant 1\)時，\(x-1\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-1)=2^{-(x-1)-1}=2^{1-x}-1\)；

當\(1<x\leqslant 2\)時，\(x-2\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-2)-1}=2^{2-x}-1\)；

當\(2<x\leqslant 3\)時，\(x-3\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-3)-1}=2^{3-x}-1\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

依此類推，得到如下的解析式：

\[f(x) =\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}-1，x\leqslant 0}\\{2^{1-x}-1，0< x \leqslant 1} \\{2^{2-x}-1，1< x\leqslant 2}\\{ 2^{3-x}-1，2< x\leqslant 3} \\ {2^{4-x}-1，3< x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right. \]

依托上述解析式，我們就能容易做出靜態函數\(y=f(x)\)和動態函數\(y=x+a\)的圖像於同一個坐標系，

利用圖像，就能輕松看出參數\(a\)的取值范圍為\(a\in (-\infty，1)\)。

【法2】：快速作圖法，解讀給定的分段函數的解析式，第一段其實是作圖的基礎，難點是如何利用第二段來作圖，

由於\(f(x)=f(x-1)(x>0)\)，說明函數在\((0，+\infty)\)上部分圖像向右有周期性\(T=1\)，

又由於\(f(x-1)\)的圖像是把\(f(x)\)的圖像向右平移一個單位得到，故將第一段向右平移一個單位，然后截取圖像的\((0,1]\)區間上的部分即可。

這樣，在區間\((1,2]\)段上的圖像，就是將\((0,1]\)段上的圖像向右平移一個單位即可，

在區間\((2,3]\)段上的圖像，就是將\((1,2]\)段上的圖像向右平移一個單位即可，以此類推，

得到區間\((0，+\infty)\)上的所有圖像，然后在同一個坐標系中再做出動態函數\(y=x+a\)的圖像，

利用圖像，就能輕松看出參數\(a\)的取值范圍為\(a\in (-\infty，1)\)。

解后反思：函數與方程的相互等價轉化，數形結合思想； 特殊分段函數的圖像做法； 分段函數中只包含周期性的圖像做法；

周期性+縱軸平移

同時涉及左右平移和上下平移

例2 已知函數\(f(x) = \begin{cases}x^2 &0\leqslant x\leqslant 1 \\ f(x-1)+1 &x>1 \end{cases}\)，求作函數圖像。

【法1】：基礎作圖法，仿照上例中的法1，先求得分段函數的解析式，再依次做出其圖像即可，\(T=1\)

當\(1\leqslant x\leqslant 2\)時，\(0\leqslant x-1\leqslant 1\)，故\(f(x)=f(x-1)+1=(x-1)^2+1\)；

當\(2\leqslant x\leqslant 3\)時，\(0\leqslant x-2\leqslant 1\)，故\(f(x)=f(x-2)+2=(x-2)^2+2\)；

當\(3\leqslant x\leqslant 4\)時，\(0\leqslant x-3\leqslant 1\)，故\(f(x)=f(x-3)+3=(x-3)^2+3\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

依此類推，得到如下的解析式：

\[f(x) =\left\{\begin{array}{l}{x^2，0\leqslant x\leqslant 1}\\{(x-1)^2+1，1\leqslant x\leqslant 2}\\{(x-2)^2+2，2\leqslant x\leqslant 3}\\{(x-3)^2+3，3\leqslant x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right. \]

【法2】：快速作圖法，有了上例中的作圖經驗，類比上例這樣做，先作區間\([0,1]\)上的圖像，

將區間\([0,1]\)上的圖像向右平移一個單位，再向上平移一個單位，得到\([1,2]\)的圖像；

將區間\([1,2]\)上的圖像向右平移一個單位，再向上平移一個單位，得到\([2,3]\)的圖像；

將區間\([2,3]\)上的圖像向右平移一個單位，再向上平移一個單位，得到\([3,4]\)的圖像；

以此類推，得到整個分段函數的圖像。

周期性+縱軸伸縮

例4 【2016鳳中模擬】已知函數\(f(x)=\begin{cases}1-|x+1|，&-2\leq x\leq 0 \\ 2f(x-2) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)在區間\([-2，4]\)內有三個不同實根，求\(a\)的取值范圍__________。

思路：在同一個坐標系中做出分段函數\(y=f(x)(x\in[-2，4])\)和函數\(y=x+a\)(\(a\)是動態的)，

利用數形結合求解。 關鍵是怎么做出分段函數\(f(x)\)的圖像？

先做出\(x\in[-2，0]\)上的函數\(f(x)=1-|x+1|\)的圖像， 具體可以這樣做，

\(|x|\longrightarrow|x+1|\longrightarrow-|x+1|\longrightarrow1-|x+1|\)，再截取得到\(x\in[-2，0]\)上的圖像即可。

難點是第二段\(f(x)=2f(x-2)(x>0)，\)此時我們可以這樣理解，

這樣的效果是由\(f(x)=f(x-2)(周期變換)\)和\(y=2f(x)(振幅變換)\)疊加而成的，

因此我們可以將\(x\in[-2，0]\)上的函數\(f(x)=1-|x+1|\)的圖像先向右平移2個單位，

然后再將縱坐標擴大2倍， 這樣就得到了\(x\in[0，2]\)上的函數圖像；

再將\(x\in[0，2]\)上的函數圖像先向右平移2個單位，然后再將縱坐標擴大2倍，

這樣就得到了\(x\in[2，4]\)上的函數圖像；整個\(x\in[-2，4]\)上的函數圖像如右圖的橘黃色部分所示；

函數\(y=x+a(a動態)\)的圖像如圖中的綠色直線所示，讓這條綠色的直線沿\(y\)軸平行移動，

根據兩個圖像有三個交點，就可以得到\(a\)的取值范圍(\(-2<a<0\)或\(a=1\))。

感悟反思：

1、函數與方程的相互等價轉化，數形結合思想；

2、分段函數的圖像做法；

3、分段函數中包含周期性和振幅變換的圖像做法；

例5 【2019年高考數學試卷理科新課標Ⅱ第12題】設函數\(f(x)\)的定義域為\(R\)，滿足\(f(x+1)=2f(x)\)，且當\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)，若對於任意\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)，則\(m\)的取值范圍是【】

$A.(-\infty，\cfrac{9}{4}]$ $B.(-\infty，\cfrac{7}{3}]$ $C.(-\infty，\cfrac{5}{2}]$ $D.(-\infty，\cfrac{8}{3}]$

分析：要想弄清楚這類題目的求解，最好先理解題目中給定的條件的目的，

給定條件“\(f(x+1)=2f(x)\)”是為了讓你用來求解其他區間上的解析式，以便於求解或作圖；

給定條件“\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)”，是我們作圖或者求其他區間上的解析式的基礎；因此我們需要先求得函數的解析式；

給定條件“\(x\in (-\infty，m]\)，都有\(f(x)\geqslant -\cfrac{8}{9}\)”，是讓我們做出函數\(y=f(x)\)的圖像和\(y=-\cfrac{8}{9}\)的圖像，從圖像上判斷，在函數\(y=f(x)\)的哪一段上滿足\(f(x)\)的圖像一直在直線\(y=-\cfrac{8}{9}\)的上方。

解析：令\(x+1=t\)，則\(x=t-1\)，即給定條件\(f(x+1)=2f(x)\)變形為\(f(t)=2f(t-1)\)，

即\(f(x)=2f(x-1)\star\)，這是我們下來變換要使用的重要的表達式；

由於\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)①，

則當\(x\in (1，2]\)時，\(x-1\in (0，1]\)，則由\(\star\)和①式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\)②；

當\(x\in (2，3]\)時，\(x-1\in (1，2]\)，則由\(\star\)和②式得到，即\(f(x)=2f(x-1)=2\times 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3)\)③；

以下區間的解析式求解用不上，不過我們還是看看，

當\(x\in (3，4]\)時，\(x-1\in (2，3]\)，則由\(\star\)和③式得到，此時\(f(x)=2f(x-1)=2\times 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4)\)④；

同理，我們還可以求得\(x\in (-1，0]\)時的解析式；

則當\(x\in (-1，0]\)時，\(x+1\in (0，1]\)，則由\(f(x+1)=2f(x)\)得到，即\(f(x)=\cfrac{1}{2}f(x+1)=\cfrac{1}{2}x(x+1)\)⑤；

在坐標系中做出分段函數在區間\((-1，3]\)上的圖像以及直線\(y=-\cfrac{8}{9}\)，

由圖像可知，我們求解方程\(4(x-2)(x-3)=-\cfrac{8}{9}\)，解得\(x=\cfrac{7}{3}\)或\(x=\cfrac{8}{3}\)(結合圖像舍去)

即\(m=\cfrac{7}{3}\)，故選\(B\)。

解后反思：

• 1、本題目涉及到的知識點比較多：分段函數，求解析式，換元法，二次函數，數形結合等等；

• 2、對表達式\(f(x)=2f(x-1)\)的理解，它是兩種變換，比如平移變換\(f(x)=f(x-1)\)和振幅變換\(f(x)=2f(A)\)的融合，理解了本題目后，以后碰到類似題目，我們就可知這樣理解，\(f(x-1)\)的意思是將基礎圖像\(y=x(x-1)\)向右平移一個單位，再乘以\(2\)，意思是在原來平移的圖像的基礎上在\(y\)軸方向擴大\(2\)倍，這樣做圖像就快多了。

• 3、我們還可以不詳細求解各區間段上的解析式，而利用圖像直接寫出解析式。比如向右平移一次后我們知道，函數圖像經過點\((1，0)\)和\((2，0)\)，則解析式為\(y=a(x-1)(x-2)\)，且知道最低點為\((\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{2})\)，可知\(a=2\)，即\(x\in (1，2]\)時，\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)；

• 4、能不能不做變換，直接利用\(f(x+1)=2f(x)\)來求解析式呢？也可以，不過你必須始終緊緊盯住自變量\(x\)的取值不放，

比如\(x\in (0，1]\)時，\(f(x)=x(x-1)\)，由\(f(x+1)=2f(x)\)，先求得\(f(x+1)=2x(x-1)\)，注意到\(x+1\in (1，2]\)，要求解\(x\in (1，2]\)上的解析式，還得換元，令\(x+1=t\in (1，2]\)，則\(x=t-1\)，代入\(f(x+1)=2x(x-1)\)，變形得到\(f(t)=2(t-1)(t-2)\)，\(t\in (1，2]\)，即\(f(x)=2(x-1)(x-2)\)，\(x\in (1，2]\).

• 5、注意函數的解析式的寫法和理解。

形式一：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2(x-1)(x-2)，x\in(1，2]}\\{4(x-2)(x-3)，x\in(2，3]}\\{8(x-3)(x-4)，x\in(3，4]}\\{\cdots，\cdots}\end{array}\right.\)

形式二：\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-1)，x\in(0，1]}\\{2f(x-1)，x>1}\end{array}\right.\)