一、什么是最小編輯距離
最小編輯距離：是用以衡量兩個字符串之間的相似度，是兩個字符串之間的最小操作數，即從一個字符轉換成另一個字符所需要的操作數，包括插入、刪除和置換。
每個操作數的cost：
- 每個操作數的cost一般是1
- 如果置換的cost是2，而插入和刪除的cost是1，我們稱之為Levenshtein 距離。
作用：
- 計算衡量機器翻譯和語音識別的好壞：將機器得到的字符串與專家寫的字符串比較最小編輯距離，以一個單詞為一個單位。
- 命名實體識別和鏈接：比如通過計算最小編輯距離，可以判定IBM.Inc和IBN非常相似，只有一個單詞不同，所以認為這是指向同一個命名實體。
二、如何找到最小編輯距離
實質：尋找一條從“開始字符串”到“最終字符串”的路徑（一個操作序列）
具體過程：
- 初始狀態：機器翻譯出來的單詞
- 操作：插入、刪除、置換
- 黃金狀態：我們盡力希望得到的單詞
- 路徑花費：操作數目，要求最小化
- 實例：
單詞intention通過刪除i可以得到ntention，通過插入e可以得到eintention，通過將i換成e可以得到entention。以上從intention到葉子節點的任意一個單詞經過的操作數就是一條路徑。
- 可以發現枚舉出所有可轉變成的單詞的花費是十分巨大的，我們不可能用枚舉遍歷的方式來尋找一條最短路徑，一種解決方法是：使用剪枝
- 每層中有很多路徑被剪枝了，只在每一層中保留最短的那條路徑
定義：
- 設有兩個字符串：X和Y。其中X長度為n，Y長度為m
- 定義D(i,j)，表示
- X[1..i]和Y[]1..j]之間的編輯距離，
- 從而X和Y之間的編輯距離為D(n,m)
三、如何計算中間距離D(n,m)
基准方法：動態規划從i=0，j=0
具體算法：
初始X的長度為i，則Y的長度為0時，需要在Y中插入i個字符才能使Y變成X，所以D(i,0)=i；同理X的長度為0，Y的長度為j時，需要刪去j個字符才能使Y變成X，所以D(0,j)=j.
環條件：三個式子分別對應在i-1的基礎上刪除一個字符使之變成j、在j-1的基礎上插入1個字符使之變成i和置換這三個操作，其中若X(i)=Y(j)，則無需置換，所以cost等於1，否則需要各在i-1和j-1上插入一個字符，cost等於2
計算實例：
四、如何回溯計算兩個字符串之間對齊的字符
在上一步計算矩陣的過程中，加入方向，具體可參考《算法導論》中的尋找最長公共子序列
計算實例：
五、帶權重的最短距離
權重：指插入、刪除和置換三種操作有不同的權重，不再簡單都認為cost是1
原因：
- 拼寫校正：有些單詞通常更容易被拼錯，比如根據統計e非常容易被拼錯成a
- 生物學：某幾種插入或刪除更容易出現
經過調整的算法如下：
注：使用Levenshtein距離
六、計算生物學上的最小編輯距離（相似度）
問題：找到以下兩個序列中的對齊序列，其可能是核苷酸或者蛋白質的結構
要求得到以下對齊序列：
在NLP上，我們稱之為最小距離，而在計算生物學上，我們稱之為相似度
算法：Needleman-Wunsch 算法
其中d表示插入和刪除的cost，s表示置換的positive value
1. 變形一
特殊情況：兩個字符串的頭尾沒有對齊，只有中間一部分重合
具體可能有兩種情形：
要求：檢測重疊部分中的相似度，即重疊檢測問題
算法：
注：調整算法開始的起點和終點
2. 變形二
要求：要求找到兩個字符串中相似度最大的序列，可以有多個，即局部對齊問題
實例：要求找到以下cccggg的部分
算法：Smith-Waterman算法
計算實例：
結果：
其中找到兩個最大局部對齊序列
一是ATCAT和ATTAT的相似度為3，其中A與A相等，得一分；T與T相等，得一分；T與C不相等，要刪除，所以減一分；A與A相等，得一分；T與T相等，得一分
二是ATC和ATC的相似度也為3。