【解碼】浮點數精度問題 | 為什么(int)(32.3 x 100) = 3229？

零 | 序

前幾天在找一個代碼問題時，苦思不得其解，簡直要懷疑人生。查看各種參數，輸入輸出，都符合條件，最后各種排除法之后，定位到一段簡單的代碼，簡化后大致如下：

#include<stdio.h>

int main()
{
    double a = 32.3;
    int    b = 100;
    int    c = (int)(a*b);
    printf("c = %d",c); //c = 3229
    return 0;
}

原代碼中本來預想c應該會等於3230，可是最后的結果卻是3229！！！

第一反應就覺得應該是浮點數精度問題，但是怎么條理清晰地向別人解釋呢？好像有點難度，於是回家認真翻閱了下書籍，整理了一下思路。

一個簡單的解釋是：

我們都知道計算機中只有0和1，也沒有小數點，因此要表示浮點數時有自己的一套表示方法，這套表示方法在有限位數情況下有時並不能精確的表示某個浮點數，只能盡量逼近它，例如這個例子中，我們定義了一個double型的32.3，我們以為它表示32.3，但是計算機用有限長的0和1只能表示32.2999999......，這樣當這個數乘上100時，就變成了3229.99999，當它從double轉型成int時，小數點被舍掉了，就變成了3229。

 

這個解釋......好像似懂非懂的樣子，那么問題來了：

1. 浮點數在計算機中到底是怎么存儲的？為什么有的小數無法精確表示？

2. 浮點數乘法是怎么實現的？

3. double轉型成int時，為什么會把小數舍掉？

 

一 | 浮點數表示

要理解上面的問題，我們先從更簡單的2進制小數開始，我們知道在10進制中：123.45 = 1 x 10² + 2 x 10¹ + 3 x 10⁰ + 4 x 10^-1 + 5 x 10^-2，

類似的2進制小數也可以這樣表示：101.11 = 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 1 x 2^-1 + 1 x 2^-2 = 5.75，

如果考慮有限長度，我們知道1/3在10進制中沒辦法准確表示，同樣的，二進制中也有不能精確表示的數，如1/5，二進制只能表示那些能被寫成a x 2^b的數，就像上面的5.75。

所以本文開始的例子中32.3 = 0010 0000.0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 ...... = 32.29999999999......

這就解釋了為什么32.3在計算機中是32.999999999999......

 

等等！不是說計算機中沒有小數點的嗎？

確實如此，因此在實際計算機中，采用的是IEEE浮點表示法（IEEE-754標准），即V=(-1)^s x (1.M) x 2^E-f表示一個浮點數，其中s是符號，M是尾數，E是階碼，其存儲規則如下：

單精度格式（32位）：符號位（s）1位；階碼（Ｅ）8位，階碼的偏移量（f）為127（7FH）；尾數（M）23位，用小數表示，小數點放在尾數域的最前面；
雙精度格式（64位）：符號位（s）1位；階碼（Ｅ）11位，階碼的偏移量（f）為1023（3FFH）；尾數（M）52位，用小數表示，小數點放在尾數域的最前面。

舉個簡單的例子：(1.75)₁₀ = (1.11)₂ = 1.11 x 2⁰，所以在單精度格式中s = 0，M = 11，E = 127 = (01111111)₂

因此在計算機中，float型的1.75存儲為 0 01111111 11000000000000000000000 = (3FE00000)₁₆，

而double型的1.75存儲為(3FFC000000000000)₁₆，這個就留給您自己去推算一遍了。

 

下面我們通過一段代碼來驗證一下上面的原理，證實1.75在計算機中確實是這樣存儲的。

首先我們定義一個指向類型為unsigned char的對象指針，然后定義一個show_bytes方法，打印出每個以16進制表示的字節，%.2x表示整數必須用至少兩個數字的十六進制格式輸出。接着定義show_int，show_float，show_double分別調用show_bytes，根據不同的類型和長度，打印出對應的字節表示。

#include<stdio.h>

typedef unsigned char *byte_pointer; //定義一個指向類型為unsigned char的對象指針

//以16進制打印指針指向地址中的字節序列
void show_bytes(byte_pointer start, int len){
    int i;
    for (i = 0; i < len; i++)
        printf("%.2x",start[i]);
    printf("\n");
}
//打印整數型變量
void show_int(int x){
    show_bytes((byte_pointer)&x, sizeof(int));
}
//打印單精度浮點變量
void show_float(float x){
    show_bytes((byte_pointer)&x, sizeof(float));
}
//打印雙精度浮點變量
void show_double(double x){
    show_bytes((byte_pointer)&x, sizeof(double));
}

//主程序
int main()
{
    double a = 1.75;
    show_float(a);
    show_double(a);
　　 return 0;
}

運行結果為：

0000e03f
000000000000fc3f

注意到這里結果似乎跟我們推算的值不太一樣，這是因為我的計算機采用小端法存儲（這個概念如不清楚請Google之），即把低序的存在低地址，所以00 00 e0 3f從高地址開始讀就是3f e0 00 00。那么本文一開始提到的32.3在雙精度中是怎么表示的呢？修改程序后運行可得：

cdcc0042
9a99999999194040

 

二 | 浮點數乘法

搞清楚了浮點數的存儲方式，我們來看看浮點數的乘法是怎么實現的。假設有兩個浮點數：

x = M_x x 2^E_x　　y = M_y x 2^E_y 

那么x*y =( M_x x 2^E_x ) ( M_y x 2^E_y ) = 2^E_x+E_y·(M_x * M_y)，

也就是說兩個浮點數相乘的結果就是它們的階碼相加，尾數相乘。

所以在雙精度中32.3 x 100 = (1.0000 0010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 x 2⁵) x (1.1001 x 2⁶)

　　　　　　　　　　　　= 1.1001 0011 1011 1111 1111 1111 1111... x 2¹¹

　　　　　　　　　　　　= (0100 0000 1010 1001 0011 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂

 　　　　　　　　　　　　= 3299.9999999999......

這里是以二進制小數的方式簡單說明了下浮點數的乘法，雖然浮點數的乘法可以轉換成定點數的加法和乘法，但我們知道在計算機中的0和1，也並沒有真正的“加法”和“乘法”，所有的操作是通過寄存器和邏輯門操作完成的，想要真正“理解”浮點數乘法操作是怎么實現的，不妨研讀下“匯編語言”相關內容。

PS. 順便說一下，浮點數32.3乘整數100，按C語言的規則是100轉成浮點數再運算，而不是32.3先轉成整數再運算。

 

三 | 浮點數轉型成整數

浮點數轉型成整數時，會把小數點舍掉，有人說，這是C語言規定的，沒什么好解釋的。但是計算機總有自己的一套規則吧，究竟是怎么轉換的呢？這方面容我再好好深入學習下《匯編原理》和《深入理解計算機系統》，再來向各位匯報，也歡迎各位大神指導。

 

另外，如果把文章開頭的double a = 32.3變成float a = 32.3，結果c會變成3230，各位讀者如果有興趣可以思考下為什么。 

總結一下，浮點有風險，使用需謹慎！

 

參考文獻：

1. 《深入理解計算機系統（第2版）》 機械工業出版社

2. https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754_revision

3. http://share.onlinesjtu.com/mod/tab/view.php?id=176