近日復習概率論（mathematics for computer science）的時候讀到了一個有趣的例子，在這里分享一下。都是一些非常簡單好玩的概率知識，學數學的同學請繞道...勿噴。 😉
這是一個平淡的星期天，你像往常一樣在酒吧喝酒，順便思考一下MMU分頁機制的原理。
過了一會兒，一個彪形大漢坐到了你的旁邊，點了幾杯伏特加開始狂飲。正當你想到內核如何通過虛擬地址更改頁目錄和頁表的時候，他開口了。
“小兄弟，玩骰子嘛？”
“不好意思，我不賭博。”
“嘿，我這可不是賭博，而且規則簡單的很，要不要聽聽？”
你覺着反正也是閑着，就看看他葫蘆里賣着什么葯，於是說到：
“行，你說說是怎么個玩法？”
壯漢便從口袋里攥出三枚骰子，扔在桌子上：
“我這有三枚骰子，每一個都有6面，和普通骰子不一樣的地方在於，每個相對面的點數是一樣的，也就是說每個骰子只有三種點數，例如A骰子投出2、6、7的概率都是1/3. 咱們兩每人下注100塊，選一個骰子扔一下，誰點數小就輸給對方，如何？”
發現骰子有些奇怪，你陷入了思索，B骰子有一個最大的點數9，而A骰子似乎有6和7這兩個都不小的點數...
壯漢看出了你的懷疑，又說“小兄弟，這樣，你先選骰子，我后選，這樣如何？”
聽起來不錯。
”那我選B骰子“。隨后壯漢拿起了A骰子。接下來就讓我們分析一下你輸掉的概率。
A vs B
首先我們找出所有的樣本空間：
然后我們找到壯漢能夠獲勝的樣本，一共有5個：
由於骰子上每一個點數出現的概率都是1/3，而且兩個骰子是互相獨立的，所以每一個樣本出現的概率都是1/9. 如下圖所示，你輸掉的概率是5/9 😦
在你輸掉100元后，壯漢將其歸咎於你的壞運氣，並勸你再來一盤。不過你現在只剩下打車的25塊了，為了“幫助”你回本，壯漢提出，接下來這一盤你不用下注，如果你贏了就把剛剛贏的100塊還給你，但要是輸掉的話就欠他100塊。考慮到剛剛已經吃了一個教訓，這次應該能贏，你答應了他。
這次你選擇A骰子，壯漢隨后選擇了C骰子。我們再來分析一下你輸掉的概率。
C vs A
和上一盤一樣，我們很容易就算出——你還是有5/9的概率輸掉 😦
現在，你欠壯漢100塊了，當你正考慮待會兒怎么跑掉時，壯漢”慈愛“答應再給你一次免下注的機會。
emmmm... A可以贏B，C可以贏A，那選C肯定沒錯了。於是你繼續與壯漢展開斗爭，這次，壯漢選擇了B。
B vs C
和前兩盤一樣，我們可以很容易計算出結果——你還是5/9的概率輸掉，又輸了！
這怎么可能！A扔出的點數會比B更大，而C扔出的點數會比A更大，那C扔出的點數會什么會比B小呢？？
這就是直覺帶來的錯誤，在生活中很多東西滿足傳遞性，很可惜，這里的概率不是。也就是說，只要你先選骰子，壯漢總是更可能贏！
於是，這一天你穿着內褲走回了家。
又是一個平淡的星期天，你穿着新買的衣服在酒吧休息，心想着下次再碰見壯漢一定要后扔骰子，把輸掉的錢贏回來。果然，沒過多久，壯漢出現了。
他聽了你的要求，竟然欣然同意，但是建議這次玩大的——選完骰子后，每個人扔兩次，把兩次的點數之和作為輸贏依據，每次下注200元。
emmmm... 扔兩次，你想既然每一次扔骰子都更可能比壯漢大，扔兩次更應該是這樣了，於是便同意了。壯漢選擇了B骰子，你知道A骰子比B骰子更可能扔出高點數，於是便選擇的A骰子。
真的是這樣嗎？
Wrong！
Rolling Twice
和前面的算法相同，由於每個人要扔兩次骰子，總的樣本數就是(3*3)*(3*3) = 91種，如下圖所示：
可以看到，扔兩次A骰子可能的樣本為：
而扔兩次B骰子可能的樣本為：
所以A戰勝B的總樣本數為1+3+3+3+3+6+6+6+6 = 37個，而B戰勝A的總樣本數為42個（剩下的為平局）。即扔兩次B更有可能獲勝，和扔一次的情況矛盾！
看來，直覺又一次欺騙了我們，每一次扔出的點數都更可能高，但是兩次扔的和卻更可能低。事實上，在我們扔一個骰子比大小的時候，獲勝的概率排序為 A > B > C > A, 而扔兩個骰子的時候概率是反過來的，即A < B < C < A.
人們總是說“搶占先機”，但又說“后發優勢”。從上面的例子也可以看出，先行動不一定就能占據優勢，而后發也不一定就是好事，這正是統計學上的詮釋。總之，在數據的概率上，不要相信生活經驗/直覺，而是應該從數學的角度分析判斷。另外，書上在講條件概率的時候也提到了一個好玩的[辛普森悖論](https://baike.baidu.com/item/%E8%BE%9B%E6%99%AE%E6%A3%AE%E6%82%96%E8%AE%BA/4475862?fr=aladdin), 感興趣可看看。