均勻分布和高斯分布

原文地址：https://blog.csdn.net/hongxue8888/article/details/78217283

一、均勻分布    

數學期望：E(x)=(a+b)/2
方差：D(x)=(b-a)²/12
若連續型隨機變量X具有概率密度 
f(x)={1b−a,0,a<x<b其他f(x)={1b−a,a<x<b0,其他

則稱X在區間（a，b）上服從均勻分布。記為X~U(a，b）。

易知f(x)≥0f(x)≥0，且∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1

在區間（a，b）上服從均勻分布的隨機變量X,具有下述意義的等可能性，即它落在區間（a，b）中任意等長度的子區間內的可能性是相同的。或者說它落在（a，b）的子區間內的概率只依賴於子區間的長度而與子區間的位置無關。事實上，對於任一長度L的子區間（c，c+l），a≤c<c+l≤ba≤c<c+l≤b,有 
P{c<X≤c+l}=∫c+lcf(x)dx=∫c+lc1b−adx=lb−aP{c<X≤c+l}=∫cc+lf(x)dx=∫cc+l1b−adx=lb−a

對於隨機變量X的分布函數F(x)，存在非負函數f(x)，使對於任意實數x有 
F(x)=∫x−∞f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt

由上式得X的分布函數為 
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥bF(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x<b1,x≥b

f(x)及F(x)的圖形分別如圖2-9，圖2-10所示。 
 
圖2-9

 
圖2-10

例：設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在900ΩΩ~1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。

解：R的概率密度為 
f(r)={11100−900,0,900<r<1100,其他。f(r)={11100−900,900<r<1100,0,其他。

故有P{950<R≤1050}=∫10509501200dr=0.5P{950<R≤1050}=∫95010501200dr=0.5

正態分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有着重大的影響力。 
若隨機變量X服從一個數學期望為μ、標准方差為σ2的高斯分布，記為： 
X∼N(μ,σ2), 
參考： 
http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591

一、均勻分布 
若連續型隨機變量X具有概率密度 
f(x)={1b−a,0,a<x<b其他f(x)={1b−a,a<x<b0,其他

則稱X在區間（a，b）上服從均勻分布。記為X~U(a，b）。

易知f(x)≥0f(x)≥0，且∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1

在區間（a，b）上服從均勻分布的隨機變量X,具有下述意義的等可能性，即它落在區間（a，b）中任意等長度的子區間內的可能性是相同的。或者說它落在（a，b）的子區間內的概率只依賴於子區間的長度而與子區間的位置無關。事實上，對於任一長度L的子區間（c，c+l），a≤c<c+l≤ba≤c<c+l≤b,有 
P{c<X≤c+l}=∫c+lcf(x)dx=∫c+lc1b−adx=lb−aP{c<X≤c+l}=∫cc+lf(x)dx=∫cc+l1b−adx=lb−a

對於隨機變量X的分布函數F(x)，存在非負函數f(x)，使對於任意實數x有 
F(x)=∫x−∞f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt

由上式得X的分布函數為 
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥bF(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x<b1,x≥b

f(x)及F(x)的圖形分別如圖2-9，圖2-10所示。 
 
圖2-9

 
圖2-10

例：設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在900ΩΩ~1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。

解：R的概率密度為 
f(r)={11100−900,0,900<r<1100,其他。f(r)={11100−900,900<r<1100,0,其他。

故有P{950<R≤1050}=∫10509501200dr=0.5P{950<R≤1050}=∫95010501200dr=0.5

正態分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有着重大的影響力。 
若隨機變量X服從一個數學期望為μ、標准方差為σ2的高斯分布，記為： 
X∼N(μ,σ2), 
參考： 
http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591