Numpy入門學習之(二)linalg庫----向量范數、矩陣范數、行列式、矩陣逆、冪

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老師課堂總結，請勿轉載

Numpy中的核心線性代數工具

numpy.linalg模塊包含線性代數的函數。使用這個模塊，我們可以計算逆矩陣、求特征值、解線性方程組以及求解行列式等。

求解矩陣的范數

在實數域中，數的大小和兩個數之間的距離是通過絕對值來度量 的。在解析幾何中，向量的大小和兩個向量之差的大小是 “長度 ” 和 “ 距 離 ”的概念來度量的。為了對矩陣運算進行數值分析，我們需要對向量 和矩陣的 “大小 ”引進某種度量。范數是絕對值概念的自然推廣。

"范數 "是對向量和矩陣的一種度量,實際上是二維和三維 向量長度概念的一種推廣.

向量范數

范數理論的一個小推論告訴我們：ℓ1≥ℓ2≥ℓ∞

矩陣的范數

范數匯總

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矩陣行列式

方陣的逆矩陣

伴隨矩陣

逆矩陣運算性質

代碼

 

1.  
   # -*- coding: utf-8 -*-
2.  
   """
3.  
   Created on Sat Jul 29 15:33:39 2017
4.  
    
5.  
   @author: Administrator
6.  
   """
7.  
    
8.  
   import numpy as np
9.  
    
10.  
    print( "###########向量范數#########")
11.  
    print( "向量為:",[1,5,6,3,-1])
12.  
    print( "1范數：",np.linalg.norm([1,5,6,3,-1],ord = 1),"向量元素絕對值之和")
13.  
    print( "2范數：",np.linalg.norm([1,5,6,3,-1],ord = 2),"向量元素絕對值的平方和再開方")
14.  
    print( "無窮范數:",np.linalg.norm([1,5,6,3,-1],ord = np.inf),"所有向量元素絕對值中的最大值")
15.  
     
16.  
    print( "###########矩陣范數#########")
17.  
    a = np.arange( 12).reshape(3,4)
18.  
    print( "矩陣a為：")
19.  
    print(a)
20.  
    print( "F范數",np.linalg.norm(a,ord = 'fro'),"矩陣元素絕對值的平方和再開平方")
21.  
    print( "1范數",np.linalg.norm(a,ord = 1),"列和范數，即所有矩陣列向量絕對值之和的最大值")
22.  
    print( "2范數",np.linalg.norm(a,ord = 2),"譜范數，即ATA矩陣的最大特征值的開平方")
23.  
    print( "無窮范數",np.linalg.norm(a,ord = np.inf),"行和范數，即所有矩陣行向量絕對值之和的最大值")
24.  
     
25.  
     
26.  
    print( "###########行列式#########")
27.  
    a = np.arange( 1,17).reshape(4,-1)
28.  
    print( "矩陣a為")
29.  
    print(a)
30.  
    print( "a的行列式為：",np.linalg.det(a))
31.  
     
32.  
    print( "###########逆矩陣np.linalg.inv()#########")
33.  
    a = np.array([[ 1,-1],[1,1]])
34.  
    b = np.array([[ 1/2,1/2],[-1/2,1/2]])
35.  
    print( "矩陣相乘為單位矩陣E:")
36.  
    print(np.dot(a,b))
37.  
     
38.  
    print( "###########伴隨矩陣#########")
39.  
    print(a)
40.  
    det_a = np.linalg.det(a)
41.  
    print( "a的行列式為：",det_a)
42.  
    inv_a = np.linalg.inv(a) ####求a的逆矩陣
43.  
    print( "a的逆矩陣為:",inv_a)
44.  
    print( "a的伴隨矩陣為：")
45.  
    bansui = det_a*inv_a
46.  
    print(bansui)
47.  
    print( "驗證:",np.dot(bansui,a))
48.  
     
49.  
    print( "###########A與A逆行列式#########")
50.  
    a = np.random.rand( 5,5)
51.  
    inv_a = np.linalg.inv(a)
52.  
    det_a = np.linalg.det(a)
53.  
    det_inv_a = np.linalg.det(inv_a)
54.  
    print(det_a*det_inv_a)
55.  
     
56.  
    print( "###########矩陣的冪matrix_power()#########")
57.  
    a = np.random.rand( 3,3)
58.  
    print(a)
59.  
    print(np.linalg.matrix_power(a, 2))
60.  
     
61.  
    print( "###########求解AXB=C?#########")
62.  
    a = np.array([[ 1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]])
63.  
    b = np.array([[ 2,1],[5,3]])
64.  
    c = np.array([[ 1,3],[2,0],[3,1]])
65.  
    det_a = np.linalg.det(a)
66.  
    det_b = np.linalg.det(b)
67.  
    inv_a = np.linalg.inv(a)
68.  
    inv_b = np.linalg.inv(b)
69.  
    if det_a != 0:
70.  
    if det_b !=0:
71.  
    x = np.dot(np.dot(inv_a,c),inv_b)
72.  
    print(x)

1.  
   ###########向量范數#########
2.  
   向量為: [ 1, 5, 6, 3, -1]
3.  
   1范數： 16.0 向量元素絕對值之和
4.  
   2范數： 8.48528137424 向量元素絕對值的平方和再開方
5.  
   無窮范數: 6.0 所有向量元素絕對值中的最大值
6.  
   ###########矩陣范數#########
7.  
   矩陣a為：
8.  
   [[ 0 1 2 3]
9.  
   [ 4 5 6 7]
10.  
    [ 8 9 10 11]]
11.  
    F范數 22.4944437584 矩陣元素絕對值的平方和再開平方
12.  
    1范數 21.0 列和范數，即所有矩陣列向量絕對值之和的最大值
13.  
    2范數 22.4092981633 譜范數，即ATA矩陣的最大特征值的開平方
14.  
    無窮范數 38.0 行和范數，即所有矩陣行向量絕對值之和的最大值
15.  
    ###########行列式#########
16.  
    矩陣a為
17.  
    [[ 1 2 3 4]
18.  
    [ 5 6 7 8]
19.  
    [ 9 10 11 12]
20.  
    [ 13 14 15 16]]
21.  
    a的行列式為： 4.73316543133e-30
22.  
    ###########逆矩陣np.linalg.inv()#########
23.  
    矩陣相乘為單位矩陣E:
24.  
    [[ 1. 0.]
25.  
    [ 0. 1.]]
26.  
    ###########伴隨矩陣#########
27.  
    [[ 1 -1]
28.  
    [ 1 1]]
29.  
    a的行列式為： 2.0
30.  
    a的逆矩陣為: [[ 0.5 0.5]
31.  
    [ -0.5 0.5]]
32.  
    a的伴隨矩陣為：
33.  
    [[ 1. 1.]
34.  
    [ -1. 1.]]
35.  
    驗證: [[ 2. 0.]
36.  
    [ 0. 2.]]
37.  
    ###########A與A逆行列式#########
38.  
    1.0
39.  
    ###########矩陣的冪matrix_power()#########
40.  
    [[ 0.66673632 0.24542188 0.24331174]
41.  
    [ 0.81223569 0.41511886 0.20157493]
42.  
    [ 0.07107783 0.64497704 0.29675985]]
43.  
    [[ 0.66117181 0.42244142 0.28390083]
44.  
    [ 0.89304891 0.50167529 0.34112338]
45.  
    [ 0.59235659 0.47658948 0.23537168]]
46.  
    ###########求解AXB=C?#########
47.  
    [[ -2. 1.]
48.  
    [ 10. -4.]
49.  
    [ -10. 4.]]