簡單數論總結1——gcd與lcm

並不重要的前言

　　最近學習了一些數論知識，但是自己都不懂自己到底學了些什么qwq，在這里把知識一並總結起來。

也不是很難的gcd和lcm

 　　顯而易見的結論：

　　為什么呢？

　　根據唯一分解定理：

　　　　　　　　a和b都可被分解為素因子的乘積，形如：

　　則顯而易見的有一下結論：

　

　

　　相乘，得：

　

　　得證

 

幾種求gcd的算法

1. 1. 　　歐幾里得算法（輾轉相除法）
   2.      輾轉相減法（優化：stein_gcd）　　

　　　　　　

　　　　　歐幾里得算法

　基於事實:

　　

　實現：

int gcd(int a, int b){
  return (b == 0) ? a : gcd( b , a % b) ;          
}

　　簡短而容易實現和記憶，非常優美

　　但是可能會被斐波那契數列卡住，證明或者原因鴿了回頭再寫

 

　　　　　　stein_gcd算法

　　stein_gcd本質上是對更相減損術的優化，下面進行簡單的介紹：

1. 　　若a,b都是偶數，則計算gcd(a/2,b/2)*2;  ————>因為都含有2的因數，所以同時除以2后gcd(a,b)變為原來的1/2，再乘回去
2.        若a是偶數，b是奇數，則計算gcd(a/2,b);  ————>因為只有一個數含有2作為因數，所以除以2后gcd(a,b)不變
3.        若a是奇數，b是偶數，則計算gcd(a,b/2);  ————>同2.
4.        若a是奇數，b是奇數，則計算gcd(abs(x-y),min(x,y)); ————>通過相減，使其變成偶數，原理參見更相減損術其實是我懶得寫

 　　實現：

int stein_gcd(int x,int y){
  if(x==0)
    return y;
  if(y==0)
    return x;
  if(x%2==0&&y%2==0)
    return stein_gcd(x>>1,x>>1)*2;
  else if(x%2 ==0)
    return stein_gcd(x>>1,y);
  else if(y%2==0)
    return stein_gcd(x,y>>1);
  else
    return stein_gcd(abs(x-y),min(x,y));                                 
}

　　講到這里，大概本期就結束了，至於沒涉及到的，就是鴿了下一期的事情了

　　至於下一次什么時候填坑，已經在做了逃