1.上下文無關文法定義
文法：它描述語言語法結構的一組形式規則。
上下文無關文法：它定義的語法范疇（或語法單位）是完全獨立於這種范疇可能出現的環境。例如，在程序設計語言中，當碰到一個算術表達式時，我們完全可以“就事論事”處理，而不必考慮它所處的上下文。然而，在自然語言中，隨便一個詞，甚至一個字的意思在不同的上下文中都有可能有不同的意思。幸運的是，當今的程序設計語言都是上下文無關的
。
好像有點抽象，來個例子
"→"表示箭頭左邊的由箭頭右邊的定義
把He gave me a book與上述規則進行對照，看其中的語法范疇是否處於適當的位置，如果你了解英語的話，你應該可以確認這是一個正確的句子。做科學研究都有一個過程從現象得出一般結論，再用實驗驗證這個一般性結論。有了這個語法規則我們可以造出很多這種英文句子（簡單假設，英文語法遠比這復雜）。如果我們要造一個句子表達我們自己的意思，利用這個規則，很容易。
根據上述規則，句子無需考慮上下文，就可以判斷正確性（符合<主語><謂語><間接賓語><直接賓語>的規則）。
其中，He，me等為終結符號，<主語>、<謂語>、<間接賓語>等為非終結符號。
這個文法最終要定義<句子>語法結構，所以<句子>在這里稱為開始符號；<謂語>→<動詞>這種書寫形式稱之為產生式。
歸納一下：上下文無關語法G包括四個部分：一組終結符號，一組非終結符號，一個開始符號，以及一組產生式。
說明一下：終結符號是組成語言不可再分的基本符號，在程序語言中就是保留字、標識符、常數等；非終結符號是一個給定的語法概念，是一個類（或集合）記號，而是不是某個個體記號；開始符號是一個特殊的非終結符號，是語言中我們最終想得到的字符串（在程序語言中，我們最終感興趣的是“程序”這個語法范疇，其他的語法都是構造“程序”的基石）;產生式（也稱產生規則或者簡稱規則）是語法范疇的一種書寫規則。
你想嘛，gave這個單詞，拆分為一個個字母，就不再是gave了，沒有什么特別的含義；而非終結符號就是諸如gave的動詞的集合。
額，有個細節好像忽略了，產生式的形式：
A→α
箭頭左邊是一個非終結符，稱之為產生式的左部，箭頭右邊稱之為右部。
A是一個非終結符，α是由 非終結符號和終結符號的並集 的閉包 中的元素 組成的符號串
形式化的上下文無關文法定義：
一個四元數組G=(VN,VT,S,P)
VN:非空有限的非終結符集合
VT:非空有限的終結符集
S：開始符號
P：產生式集合
其中，VN∩VT=∅，S∈VN
P中產生式一般形式為A→α|β，其中A∈VN，α，β∈(VN∪VT)*
通常用大寫字母表示非終結符，小寫字母表示終結符，α、β、γ等代表由 終結符和非終結符號的並集的閉包 中的元素 組成的符號串。
例如:E→i|EAE A→+|*
是上下文無關語法，E、A是非終結符，E是開始符，而i，+和*是終結符
2.用上下文無關語法定義一個語言
一個上下文無關語法如何定義一個語言呢，主要思想是從文法的開始符號出發，反復連續使用產生式，對非終結符進行替換和展開。
例如：
算術表達式的定義可以寫為：
E→i
E→E+E
E→E*E
E→(E)
E代表算術表達式，i代表變量。這四個產生式的后三個是遞歸的。
我們可以定義如下文法G
E→E+E|E*E|(E)|i
開始符號為E，從E出發E=>（E）=>(E+E)=>(E*E+E)=>(i*E+E)=>(i*i+E)=>(i*i+i)
符號"=>"表示僅推導一步
我們定義αAβ=>αγβ為αAβ直接推導出αγβ，僅當A→γ是一個產生式，且α，β∈(VN∪VT)* 。
如果a1=>a2=>a3=>...=>an，我們稱這個序列是從a1到an的一個推導。若存在一個從a1到an的推導，則稱之為a1可推導出an。用a1=>an表示從a1出發經過零步或若干步，可推導出an。
假設G是一個文法，S是它的開始符號，如果S=>α則稱α是一個句型。僅含終結符號的句型是句子。文法G所產生的句子全體是一個語言記為L(G)。
L(G)={α|S+=>α&α∈VT*}
例如：文法G1：
S→bA
A→aA|a
從符號S出發我們可以推出，S=>bA=>ba
S=>bA=>baA=>baa
.
.
.
S=>bA=>baA=>...=>ba...a
歸納得出所有以b開頭后頭跟一個或者多個a的字符串L(G1)={ban|n>=1}