LeetCode（119）：楊輝三角 II

Easy！

題目描述：

給定一個非負索引 k，其中 k ≤ 33，返回楊輝三角的第 k 行。

在楊輝三角中，每個數是它左上方和右上方的數的和。

示例:

輸入: 3
輸出: [1,3,3,1]

進階：

你可以優化你的算法到 O(k) 空間復雜度嗎？

解題思路：

楊輝三角想必大家並不陌生，應該最早出現在初高中的數學中，其實就是二項式系數的一種寫法。

　　　　　　　　１
　　　　　　　１　１
　　　　　　１　２　１
　　　　　１　３　３　１
　　　　１　４　６　４　１
　　　１　５　10　10　５　１
　　１　６　15　20　15　６　１
　１　７　21　35　35　21　７　１
１　８　28　56　70　56　28　８　１

楊輝三角形第n層（頂層稱第0層，第1行，第n層即第n+1行，此處n為包含0在內的自然數）正好對應於二項式展開的系數。例如第二層1 2 1是冪指數為2的二項式展開形式的系數。

楊輝三角主要有下列五條性質：

1. 楊輝三角以正整數構成，數字左右對稱，每行由1開始逐漸變大，然后變小，回到1。
2. 第行的數字個數為個。
3. 第行的第個數字為組合數。
4. 第行數字和為。
5. 除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等於它的左上方與右上方兩個數字之和（也就是說，第行第個數字等於第行的第個數字與第個數字的和）。這是因為有組合恆等式：。可用此性質寫出整個楊輝三角形。

由於題目有額外限制條件，程序只能使用O(k)的額外空間，那么這樣就不能把每行都算出來，而是要用其他的方法,。最先考慮用的是第三條性質，算出每個組合數來生成第n行系數，代碼如下：

C++ 解法一：

/**
 * NOT Correct!
 */
class Solution {
public:
    vector<int> getRow(int rowIndex) {
        vector<int> out;
        if (rowIndex < 0) return out;
        
        for (int i = 0; i <= rowIndex; ++i) {
            if ( i == 0 || i == rowIndex)
                out.push_back(1);
            else
                out.push_back (computeCnk(rowIndex, i));
        }
        return out;
    }
    
    int computeCnk(int n, int k) {
        if (k > n) return 0;
        else if (k > n/2) k = n - k;
        int numerator = 1, denomator = 1;
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            numerator *= n - i;
            denomator *= k - i;
        }
        if (denomator != 0) return numerator/denomator;
        else return 0;
    }
};

本地調試輸出前十行，沒啥問題，拿到OJ上測試，程序在第18行跪了，中間有個系數不正確。那么問題出在哪了呢，仔細找找，原來出在計算組合數那里，由於算組合數時需要算連乘，而整形數int的數值范圍只有-32768到32768之間，那么一旦n值過大，連乘肯定無法計算。而喪心病狂的OJ肯定會測試到成百上千行，所以這個方法不行。那么我們再來考慮利用第五條性質，除了第一個和最后一個數字之外，其他的數字都是上一行左右兩個值之和。那么我們只需要兩個for循環，除了第一個數為1之外，后面的數都是上一次循環的數值加上它前面位置的數值之和，不停地更新每一個位置的值，便可以得到第n行的數字。

C++ 解法二：

class Solution {
public:
    vector<int> getRow(int rowIndex) {
        vector<int> out;
        if (rowIndex < 0) return out;
        
        out.assign(rowIndex + 1, 0);
        for (int i = 0; i <= rowIndex; ++i) {
            if ( i == 0) {
                out[0] = 1;
                continue;
            }
            for (int j = rowIndex; j >= 1; --j) {
                out[j] = out[j] + out[j-1];
            }
        }
        return out;
    }
};