用位運算實現四則運算之加減乘除（用位運算求一個數的1/3） via Hackbuteer1

轉自：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7390093

^: 按位異或；&：按位與； | ：按位或

計算機系統中，數值一律用補碼來表示：因為補碼可以使符號位和數值位統一處理，同時可以使減法按照加法來處理。

對補碼做簡單介紹：數值編碼分為原碼，反碼，補碼，符號位均為0正1負。

原碼 -> 補碼： 數值位取反加1

補碼 -> 原碼： 對該補碼的數值位繼續 取反加1

補碼 的絕對值（稱為真值）：正數的真值就是本身，負數的真值是各位（包括符號位）取反加1（即變成原碼並把符號位取反）.

b -> -b ： 各位（包括符號位）取反加1

加法運算：將一個整數用二進制表示，其加法運算就是：相異（^）時，本位為1，進位為0；同為1時本位為0，進位為1；同為0時，本位進位均為0.

所以，不計進位的和為sum = a^b，進位就是arr = a&b,(與sum相加時先左移一位，因為這是進位）。完成加法直到進位為0.

減法運算：a-b = a+(-b)　　根據補碼的特性，各位取反加1即可（注意得到的是相反數，不是該數的補碼，因為符號位改變了）

（上面用二進制實現的加減法可以直接應用於負數）

乘法運算：原理上還是通過加法計算。將b個a相加，注意下面實際的代碼。

除法運算：除法運算是乘法的逆。看a最多能減去多少個b，

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加法運算：

int AddWithoutArithmetic(int num1,int num2)
{
	if(num2==0) return num1;//沒有進位的時候完成運算
	int sum,carry;
	sum=num1^num2;//完成第一步沒有進位的加法運算
	carry=(num1&num2)<<1;//完成第二步進位並且左移運算
	return AddWithoutArithmetic(sum,carry);//進行遞歸，相加
}

//簡化一下：
int Add(int a,int b)
{
	return b ? Add(a^b,(a&b)<<1) : a;
	/*if(b)
		return Add(a^b,(a&b)<<1);
	else
		return a;*/
}

//上面的思路就是先不計進位相加，然后再與進位相加，隨着遞歸，進位會變為0，遞歸結束。 

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非遞歸的版本如下：

int Add(int a, int b)
{
	int ans;
	while(b)
	{   //直到沒有進位
		ans = a^b;        //不帶進位加法
		b = ((a&b)<<1);   //進位
		a = ans;
	}
	return a;
} 

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減法運算：

//這個和加法一樣了，首先取減數的補碼，然后相加。
int negtive(int a)   //取補碼
{
	return Add(~a, 1);
}
int Sub(int a, int b)
{
	return Add(a, negtive(b));
} 

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正數乘法運算：

//正數乘法運算
int Pos_Multiply(int a,int b)
{
	int ans = 0;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans = Add(ans, a);
		a = (a<<1);
		b = (b>>1);
	}
	return ans;
}

---

整數除法（正整數）

//除法就是由乘法的過程逆推，依次減掉（如果x夠減的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。減掉相應數量的y就在結果加上相應的數量。
int Pos_Div(int x,int y)
{
	int ans=0;
	for(int i=31;i>=0;i--)
	{
		//比較x是否大於y的(1<<i)次方，避免將x與(y<<i)比較，因為不確定y的(1<<i)次方是否溢出
		if((x>>i)>=y)
		{
			ans+=(1<<i);
			x-=(y<<i);
		}
	}
	return ans;
}

---

// 加減乘除位運算 
// 程序中實現了比較大小、加減乘除運算。所有運算都用位操作實現 
// 在實現除法運算時，用了從高位到低位的減法 
// 具體如下，算法也比較簡單，所以沒有作注釋
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int Add(int a, int b)
{
	int ans;
	while(b)
	{  //直到沒有進位
		ans = a^b;        //不帶進位加法
		b = ((a&b)<<1);   //進位
		a = ans;
	}
	return a;
}

//這個和加法一樣了，首先取減數的補碼，然后相加。
int negtive(int a)   //取補碼
{
	return Add(~a, 1);
}
int Sub(int a, int b)
{
	return Add(a, negtive(b));
}

// 判斷正負 
int ispos( int a ) 
{ //正
	return (a&0xFFFF) && !(a&0x8000);
}
int isneg( int a ) 
{ //負
	return a&0x8000;
}
int iszero( int a )
{ //0
	return !(a&0xFFFF);
}

//正數乘法運算
int Pos_Multiply(int a,int b)
{
	int ans = 0;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans = Add(ans, a);
		a = (a<<1);
		b = (b>>1);
	}
	return ans;
}

//乘法運算
int Multiply(int a,int b)
{
	if( iszero(a) || iszero(b) )
		return 0;
	if( ispos(a) && ispos(b) )
		return Pos_Multiply(a, b);
	if( isneg(a) )
	{
		if( isneg(b) )
		{
			return Pos_Multiply( negtive(a), negtive(b) );
		}
		return negtive( Pos_Multiply( negtive(a), b ) );
	}
	return negtive( Pos_Multiply(a, negtive(b)) );
}

//除法就是由乘法的過程逆推，依次減掉（如果x夠減的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。減掉相應數量的y就在結果加上相應的數量。
int Pos_Div(int x,int y)
{
	int ans=0;
	for(int i=31;i>=0;i--)
	{
		//比較x是否大於y的(1<<i)次方，避免將x與(y<<i)比較，因為不確定y的(1<<i)次方是否溢出
		if((x>>i)>=y)
		{
			ans+=(1<<i);
			x-=(y<<i);
		}
	}
	return ans;
}

//除法運算
int MyDiv( int a, int b )
{
	if( iszero(b) )
	{
		cout << "Error" << endl;
		exit(1);
	}
	if( iszero(a) )
		return 0;
	if( ispos(a) )
	{
		if( ispos(b) )
			return Pos_Div(a, b);
		return negtive( Pos_Div( a, negtive(b)) );
	}
	if( ispos(b) )
		return negtive( Pos_Div( negtive(a), b ) );
	return Pos_Div( negtive(a), negtive(b) );
} 


// 比較兩個正數的大小（非負也可） 
int isbig_pos( int a, int b ) 
{  //a>b>0
	int c = 1;
	b = (a^b);
	if( iszero(b) )
		return 0;
	while( b >>= 1 )
	{
		c <<= 1;
	}
	return (c&a);
} 

// 比較兩個數的大小 
int isbig( int a, int b ) 
{ //a>b
	if( isneg(a) )
	{
		if( isneg(b) )
		{
			return isbig_pos( negtive(b), negtive(a) );
		}
		return 0;
	}
	if( isneg(b) )
		return 1;
	return isbig_pos(a, b);
}

一、移位運算符及其規則

移位運算符就是在二進制的基礎上對數字進行平移，是在補碼的基礎上進行操作的。按照平移的方向和填充數字的規則分為三種：<<(左移)、>>(帶符號右移)、>>>(無符號右移)。

左移運算符的規則：

(1).int類型數值實際移位的次數是和32的余數，移位33次和移位1次得到的結果相同；

例如int a=1,b=32; a<<b;

在程序預處理階段，編譯器會自動執行b=b&31;(一個數的余數，即與這個數減一后做位and運算)，因此b=0，所以a<<b;之后，a=1。

(2).byte、short和char類型移位的結構會變成int類型，自然要滿足規則(1)

(3).long類型數值實際移位的次數是和64的余數，移位66次和2次得到的結構相同。

右移運算符的規則：沒有左移的那些要求

二、三種移位運算符的介紹：

(1)左移運算符(<<)

語法格式：需要移位的數字<<移位的次數；

規則：高位移出舍棄，低位的移入補零；

數學意義：在數字沒有溢出的前提下，對於正數和負數，左移一位都相當於乘以2的1次方，左移n位就相當於乘以2的n次方。

(2)帶符號右移運算符(>>)

語法格式：需要移位的數字>>移位的次數；

規則：低位移出舍棄，高位的空位補符號位，即正數補零，負數補1；

數學意義：對於正數，當移出的位中沒有1時，右移一位相當於除2，右移n位相當於除2的n次方；對於負數，當移出的位中沒有0時，右移一位相當於除2，右移n位相當於除2的n次方。

(3).無符號右移運算符(>>>)

語法格式：需要移位的數字>>>移位的次數

規則：低位移出舍棄，高位補零。對於正數來說，與(2)相同，而對於負數則不同；

數學意義：正數與(2)相同，負數無數學意義。