《算法圖解》第七章筆記_迪傑斯特拉算法

軟件環境：Python 3.7.0b4

一、迪傑斯特拉（dijkstras）算法介紹

算法目標：找出一個圖中最快（耗時最短）的路徑。

實現步驟：

1. 找出最短時間內前往的節點；
2. 對於該節點的鄰居，檢查是否有前往它們的更短路徑，如果有，就更新其開銷；
3. 重復這個過程，直到對圖中的每個節點都重復了以上兩個步驟；
4. 計算最終路徑。

 

二、迪傑斯特拉算法術語介紹

迪傑斯特拉算法用於每條邊都有關聯數字的圖，這些數字稱為權重（weight）。

帶權重的圖稱為加權圖（weighted graph），不帶權重的圖稱為非加權圖（unweighted graph）

要計算非加權圖中的最短路徑，可使用廣度優先搜索。要計算加權圖中的最短路徑，可使用狄克斯特拉算法。

 

三、算法實現

以下圖為例

要解決這個問題，需要先畫出三個散列表：

隨着算法的進行，我們將不斷更新散列表costs和parents。

graph = {}  #首先需要實現這個圖

 

需要同時存儲鄰居和前往鄰居的開銷

graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

    

同時還需要用一個散列表來存儲每個節點的開銷，一個存儲父節點的散列表，一個數組。

下面來看看算法的執行過程：

完整代碼如下（Python）

# 添加節點和鄰居
graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1

graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5

graph["fin"] = {}  # 終點沒有鄰居

# 存儲每個節點開銷的散列表
infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

# 存儲父節點的散列表
parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None

processed = []  # 一個數組，用於記錄處理過的節點。因為對於同一個節點，不用處理多次。

def find_lowest_cost_node(costs):
    lowest_cost = float("inf")
    lowest_cost_node = None
    # 遍歷所有的節點
    for node in costs:
        cost = costs[node]
        # 如果當前節點的開銷更低且未處理過
        if cost < lowest_cost and node not in processed:
            # 就將其視為開銷最低的節點
            lowest_cost = cost
            lowest_cost_node = node
    return lowest_cost_node

# 在未處理的節點中找出開銷最小的節點
node = find_lowest_cost_node(costs)
# 這個while循環在所有節點都被處理過后結束
while node is not None:
    cost = costs[node]
    # 遍歷當前節點的所有鄰居
    neighbors = graph[node]
    for n in neighbors.keys():
        new_cost = cost + neighbors[n]
        # 如果經當前節點前往該鄰居更近
        if costs[n] > new_cost:
            # 就更新該鄰居的開銷
            costs[n] = new_cost
            # 同時將該鄰居的父節點設置為當前節點
            parents[n] = node
    # 將當前節點標記為處理過
    processed.append(node)
    # 找出接下來要處理的節點，並做循環
    node = find_lowest_cost_node(costs)

print ("Cost from the start to each node:")
print (costs)

 

四、小結

• 廣度有限搜索用於在非加權圖中查找最短路徑。
• 迪傑斯特拉算法用於在加權圖中查找最短路徑。
• 僅當權重為正時迪傑斯特拉算法才管用。
• 如果圖中包含負權邊，考慮使用貝爾曼-福德（Bellman-Ford）算法。