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一種對集合A的划分就對應着關於A中元素的一個知識
面對日益增長的數據庫，人們將如何從這些浩瀚的數據中找出有用的知識？我們如何將所學到的知識去粗取精？什么是對事物的粗線條描述？什么是細線條描述？糙集合論回答了上面的這些問題。
要想了解粗糙集合論的思想，我們先要了解一下什么叫做知識？假設有8 個積木構成了一個集合A，我們記：A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8} ，每個積木塊都有顏色屬性，按照顏色的不同，我們能夠把這堆積木分成R1={紅，黃，藍} 三個大類，那么：
- 紅顏色的積木構成集合X1={x1,x2,x6}
- 黃顏色的積木構成集合X2={x3,x4}
- 藍顏色的積木構成集合X3={x5,x7,x8}
按照顏色這個屬性我們就把積木集合A進行了一個划分( 所謂A的划分就是指對於A中的任意一個元素必然屬於且僅屬於一個分類） ，那么我們就說顏色屬性就是一種知識。在這個例子中我們不難看到， 一種對集合A 的划分就對應着關於A 中元素的一個知識，假如還有其他的屬性，比如還有形狀R2={三角, 方塊, 圓形} ，大小R3={大, 中, 小} ，這樣加上R1屬性對A 構成的划分分別為：
- A/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}}（顏色分類）
- A/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} （形狀分類）
- A/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}} （大小分類）
上面這些所有的分類合在一起就形成了一個基本的知識庫。那么這個基本知識庫能表示什么概念呢？除了紅的{x1,x2,x6} 、大的{x1,x2,x5} 、三角形的{x1,x2} 這樣的概念以外，還可以表達例如：
- 大的且是三角形的{x1,x2,x5} ∩ {x1,x2}={x1,x2}
- 大三角{x1,x2,x5} ∩{x1,x2}={x1,x2}
- 藍色的小的圓形({x5,x7,x8} ∩{x3,x4,x7} ∩{x3,x4,x6,x7}={x7}
- 藍色的或者中的積木{x5,x7,x8} ∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}
而類似這樣的概念可以通過求交運算得到，比如X1與Y1的交就表示紅色的三角形。所有的這些能夠用交、並表示的概念以及加上上面的三個基本知識(A/R1,A/R2.A/R3) 一起就構成了一個知識系統記為R=R1∩R2∩R3，它所決定的所有知識是A/R={{x1,x2},{x3,x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}(注意：原文中，x3和x4是分開的，應該是作者手誤) 以及A/R 中集合的並。
下面考慮近似這個概念。假設給定了一個A上的子集合X={x2,x5,x7} ，那么用我們的知識庫中的知識應該怎樣描述它呢？紅色的三角？ **** 的大圓？都不是，無論是單屬性知識還是由幾個知識進行交、並運算合成的知識，都不能得到這個新的集合X，於是我們只好用我們已有的知識去近似它。也就是在所有的現有知識里面找出跟他最像的兩個一個作為下近似，一個作為上近似。於是我們選擇了“藍色的大方塊或者藍色的小圓形” 這個概念：{x5,x7}作為X的下近似。選擇“三角形或者蘭色的”{x1,x2,x5,x7} 作為它的上近似，值得注意的是：
- 下近似集是在那些所有的包含於X 的知識庫中的集合中求並得到的（包含在X內的最大可定義集）
- 上近似則是將那些包含X的知識庫中的集合求並得到的（包含X的最小可定義集）
一般的，我們可以用下面的圖來表示上、下近似的概念。
這其中藍色曲線圍的區域是X的區域，紫色曲線圍的部分是內部參考消息，是下近似，紅色曲線圍的內部部分就是上近似集。其中各個小方塊可以被看成是論域上的知識系統所構成的所有划分。整個粗集理論的核心就是上面說的有關知識、集合的划分、近似集合等等概念。下面我們討論一下關於粗糙集在數據庫中數據挖掘的應用問題。考慮一個數據庫中的二維表如下：
可以看出，這個表就是上面的那個例子的二維表格體現，而最后一列是我們的決策屬性，也就是說評價什么樣的積木穩定。這個表中的每一行表示了類似這樣的信息：紅色的大三角積木穩定， **** 的小圓形不穩定等等。我們可以把所有的記錄看成是論域A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8} ，任意一個列表示一個屬性構成了對論域的元素上的一個划分，在划分的每一個類中都具有相同的屬性。而屬性可以分成兩大類，一類叫做條件屬性：顏色、形狀、大小都是，另一類叫做決策屬性：最后一列的是否穩定？下面我們考慮，對於決策屬性來說是否所有的條件屬性都是有用的呢？考慮所有決策屬性是“穩定”的集合{x1,x2,x5} ，它在知識系統A/R 中的上、下近似都是{x1,x2,x5} 本身，“不穩定”的集合{x3,x4,x6,x7,x8} ，在知識系統A/R 中的上、下近似也都是{x3,x4,x6,x7,x8} 它本身。說明該知識庫能夠對這個概念進行很好的描述。
下面考慮是否所有的基本知識：顏色、形狀、大小都是必要的？如果我們把這個集合在知識系統中去掉顏色這個基本知識，那么知識系統變成
A/(R-R1)={{x1,x2},{x3,x4,x7},{x5},{x6},{x8}} 以及這些子集的並集。如果用這個新的知識系統表達“穩定”概念得到上下近似仍舊都是： {x1,x2,x5} ，“不穩定”概念的上下近似也還是{x3,x4,x6,x7,x8} ，由此看出去掉顏色屬性我們表達穩定性的知識不會有變化，所以說顏色屬性是多余的可以刪除。
如果再考慮是否能去掉大小屬性呢？這個時候知識系統就變為：A/(R-R1-R3)=A/R2={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} 。同樣考慮“穩定”在知識系統A/R2 中的上下近似分別為：{x1,x2} 和{x1,x2,x5,x8} ，已經和原來知識系統中的上下近似不一樣了， 同樣考慮“不穩定” 的近似表示也變化了，所以刪除屬性“大小”是對知識表示有影響的故而不能去掉。同樣的討論對於“形狀”屬性也一樣，它是不能去掉的。
最后我們得到化簡后的知識庫R2,R3，從而能得到下面的決策規則：大三角-> 穩定，大方塊-> 穩定，小圓-> 不穩定，中圓-> 不穩定，中方塊-> 不穩定，利用粗集的理論還可以對這些規則進一步化簡得到：大-> 穩定，圓-> 不穩定，中方塊-> 不穩定。這就是上面這個數據表所包含的真正有用的知識，而這些知識都是從數據庫有粗糙集方法自動學習得到的。
因此，粗糙集是數據庫中數據挖掘的有效方法。從上面這個例子中我們不難看出，實際上我們只要把這個數據庫輸入進粗糙集運算系統，而不用提供任何先驗的知識，粗糙集算法就能自動學習出知識來，這正是它能夠廣泛應用的根源所在。而在模糊集、可拓集等集合論中我們還要事先給定隸屬函數。目前，粗糙集理論已經廣泛的應用於知識發現、數據挖掘、智能決策、電子控制等多個領域。