粗糙集理論
1 粗糙集的基本概念
在粗糙集理論中，我們把知識看做是一種能被用於分類對象的能力。其中對象可以代表現實世界中的任意事物，包括物品、屬性、概念等。即：知識需要同現實世界中特定環境的確定對象相關聯，這一集合稱為論域。
知識與概念
令U為包含若干對象的非空有限集，也即論域，在論域中，稱任意集合
為一個概念或范疇。特別地，我們把空集也視為一個概念，稱之為空概念。而由任意個這樣的X組成的子集簇形成了U中抽象知識，簡稱為知識。
知識庫
在給定論域中，任意選擇一個等價關系集R，我們可以得到一個二元組K=<U,R>,稱這樣的二元組視為一個知識庫（近似空間）。
在論域中，任何等價關系都能導出一個對論域的划分，從而形成了一個知識庫。由此，每個知識庫就能夠與論域中的某個等價類一一對應。
不可分辨（不可區分/不分明）關系
在給定的論域U上，任意選擇一個等價關系集R和R的子集
，且
，則P中所有等價關系的交集依然是論域U中的等價關系，稱該等價關系為P的不可分辨關系，記作IND(P)。並且
：表示非空子族集
所產生的不分明關系IND(P)的所有等價類關系的集合，又稱該知識為知識庫K=<U,R>中關於P-基本知識（P-基本集）
集合的上下近似
上近似包含了所有那些可能是屬於X的元素，下近似包含了所有使用知識R可確切分類到X的元素。在給定的知識庫K=<U,R>中，任意選擇集合
，可以定於X關於知識R的上下近似。
概念的邊界域由不能肯定分類到這個概念或其補集中的所有元素組成。
X的邊界域：
X的正域：
X的負域：
從而，
集合X的上下近似以及各個域的實例如圖1所示。
圖1 各個域的實例圖
2 粗糙集的數字特征
系統參數的重要度
在給定的知識庫K=<U,R>上，存在着
，可以用於說明系統的特征，稱之為系統參數。對於任意集合
，我們可以得到X相對於這個系統參數R所提供的信息的數量的多少，稱這個數量為X的重要度。
系統參數重要度具有以下性質：
（1）
。
（2）如果
，那么使用集合X可以完全表示系統參數R。
（3）如果
，那么使用集合X完全不能表示系統參數R。
（4）隨着X相對於R的重要度的增加，使用集合X表示系統參數R的程度也會增加。
在給定的知識庫K=<U,R>中，
，定義
為知識Q對於知識P的依賴程度。
即Q的P的正域，其中包含了論域U的信息中能夠按照P進行分類后能夠被唯一的划分到Q的等價類中的那一部分。
知識的依賴度具有如下性質：
（1）
（2）如果
=1，表示在P中包含了Q的全部信息，Q對P的依賴程度為完全依賴。
（3）如果
=0，表示在P中完全不包含Q的信息，Q與P是完全獨立的。
（4）如果
，那么P中僅包含Q的部分信息，也可以說Q存在着對P的程度為k的依賴關系。
粗糙隸屬函數
傳統集合論和模糊集合論都是把隸屬關系作為原始概念來處理，集合的並和交就建立在其元素的隸屬度max和min操作上，因此其隸屬度必須事先給定（傳統集合默認隸屬度為1或0）。在粗糙集中，隸屬關系不再是一個原始概念，因此無需人為給元素指定一個隸屬度，從而避免了主觀因素的影響。傳統集合論中，一個元素的隸屬函數
。而粗糙集理論中，
。
在K=<U,R>中，對於
，則定義為元素x關於知識R的隸屬於集合的粗糙隸屬度，也稱為集合X的R-粗糙隸屬函數。
粗糙隸屬度函數的性質：
（1）
，
值越大說明對象x屬於集合X的程度越高。
（2）如果
=1，表示對象x依賴知識R判斷肯定屬於集合X。
（3）如果
=0，表示對象x依賴知識R判斷肯定不屬於集合X。
（4）當
，表明對象x依據知識R有可能屬於集合X，同時也有可能不屬於集合X。
參考文獻
[1]董濤. 基於粗糙集和協同過濾的上下文感知推薦方法研究[D].北京工業大學,2016.