編譯原理學習筆記·關於四種文法的理解以及 如何根據語言描述給出正則式或相應文法

首先要說明的是：
一般的文法至少都是0型文法，也就是說0型文法限制最少。若將0型文法比作基類的話，1、2、3型文法就是不斷繼承並加以限制得到的子類。
文法表示過程中，常用大寫字母表示非終結符V_N，而小寫字母表示的是終結符V_T。

文法概要

設文法G[S]=（V_N，V_T，S，P）

0型文法（對應圖靈機）

• 如果它的每個產生式α→β是這樣一種結構：α∈(V_N∪V_T)*且至少含有一個非終結符，而β∈(V_N∪V_T)*，則G[S]是一個0型文法。
• 0型文法也稱短語文法，記為PSG。
• 一個非常重要的理論結果是：0型文法的能力相當於圖靈機。或者說，任何0型文語言都是遞歸可枚舉的，反之，遞歸可枚舉集必定是一個0型語言。

1型文法（對應線性界線自動機，自然語言）

• 它是在0型文法的基礎上每一個α→β,都有|β|>=|α|。這里的|β|表示的是β的長度。
• 注意：雖然要求|β|>=|α|，但有一特例：α→ε也滿足1型文法。
• 1型文法也叫上下文有關文法，記為CSG。
• 此文法對應於線性有界自動機。

2型文法（對應下推自動機，程序設計語言）

• 2型文法是在1型文法的基礎上,再滿足：每一個α→β都有α是非終結符。
•  2型文法也叫上下文無關文法，記為CFG。
• 此文法對應於下推自動機。

3型文法（對應有限自動機）

• 它是在2型文法的基礎上滿足:A→α|αB（右線性）或A→α|Bα（左線性）。
• 3型文法也叫正規文法，記為RG。
• 此文法對應於有限狀態自動機。

四類文法的關系與區別

       1~3型文法都屬於0型文法，2、3型文法不一定屬於1型文法(如果存在A→ε的產生式，則不屬於1型文法)，3型文法屬於2型文法。四類文法區別如下：

          （1）1型文法中不允許有形如A→ε的產生式存在，而2、3型文法則允許出現。

          （2）0、1型文法產生式左部存在含有終結符的符號串或兩個以上的非終結符，而2、3型文法的產生式左部只允許是單個非終結符號。

 

Eg.判斷該產生式 S-> aSb|ab對應的文法。

 

關於正規表達式與上下文無關文法

         正規表達式所描述的語言結構均可以用上下文無關文法描述，反之則不一定。

（一）、正規表達式

1. S={0,1}，沒有連續兩個1的0和1組成的串集合 。

(10|0)*(1|e)

2. S＝{a,b,c} ，包含至少一個a和一個b的串集合。

c*a(a|c)*b(a|b|c)* | c*b(b|c)*a(a|b|c)*

 

3. S={0,1},使每對相鄰的0都出現在任何一對相鄰的1之前的所有01串集合。

(10|0)*|(1|e)(01|1)* |(0|e)

[分析]這題換個說法來理解就是“如果出現任意一對相鄰的1，那么它后面必然不會出現相鄰的0”。首先，我們將這個01串拆成前后兩個部分來考慮，首先給出沒有連續兩個1的01串的前綴，則這樣表示(10|0)*|(1|e)，這時需要考慮后面尾部的情況有兩種：

•  一種是沒有一對相鄰的1，那么之前表示足以。
• 另一種是存在若干對相鄰的1，那么則用(01|1)* |(0|e) 來表示。

4. S={0,1} ，不包含101作為子串的集合。

0*|0*11*|0*11*0|(0*11*00)*(0*11*|0*11*0|e)

（二）、文法

按指定類型，給出語言的文法。

1. L={aⁿbⁿ | n≥1}的上下文無關文法

G[S]:   S→aT

T→Sb|b

 

2. L={aⁱb^j | j＞i≥0}的上下文無關文法

G[S]:   S→aSb|Sb|b

 

3.由相同個數a和b組成句子的無二義文法

官方標配答案：

我們用一個非終結符A代表一個a(即有A→a)，用一個非終結符B代表一個b(即有B→b)；為了保證a和b的個數相同，則在出現一個a時應相應地出現一個B，出現一個b時則相應出現一個A。假定已推導出bA，如果下一步要推導出連續兩個b時，則應有bAbbAA。也即為了保證b和A的個數一致，應有A→bAA；同理有B→aBB。此外，為了保證遞歸地推出所要求的ab串，應有S→aBS和S→bAS。由此得到無二義文法G[S]為    

G[S]:   S→aBS|bAS|ε

A→bAA|a

B→aBB|b

自己來看的理解與解題過程：

我們規定S 能推導出所有具有相等個數a和b的符號串

S→ε（最簡單的情況，a、b都沒有）

S→a B （其中B 中b的個數比a多一個）

S→b A （其中A中a的個數比b多一個）

這里可以看出，引入兩個非終極符B和A來分別推出相應的后綴。得到S的產生式：

S→aB | bA | e

 

接下來，對B采用同樣的方法來考慮:

      B → b （最簡單的情況，a沒有）

      B →b S

      B → a BB

於是可得到B的產生式:

B→bS | aBB | b

 

同樣地，可得到A的產生式:

A→ aS | bAA | a

 

將三部分放在一起，我們就得到了文法G[S], 如下：

S→aB | bA |e

B→bS | aBB | b

A→aS | bAA | a

[拓展思考]如果將A或B作為開始符號，得到的語言是什么？

4. 字母表Σ={a,b}上的同時只有奇數個a和奇數個b的所有串的集合的正規文法。

為了構造字母表Σ={a,b}上同時只有奇數個a和奇數個b的所有串集合的正規式，我們畫出如圖所示的DFA，即由開始符S出發，經過奇數個a到達狀態A，或經過奇數個b到達狀態B；而由狀態A出發，經過奇數個b到達狀態C(終態)；同樣，由狀態B出發經過奇數個a到達終態C。由圖可直接得到正規文法G[S]如下： 

G[S]:   S→aA|bB 

A→aS|bC|b 

B→bS|aC|a      

C→bA|aB|ε

[拓展思考：奇數個a和偶數個b、偶數個a和偶數個b、偶數個a和奇數個b又怎么表示呢？]

更多文法構造例子：http://download.csdn.net/download/jave_f/10016955

【附：一文一圖】