除法取模的技巧

題目描述

在三維空間中，平面 x = 0, y = 0, z = 0，以及平面 x + y + z = K 圍成了一個三棱錐。
整天與整數打交道的小明希望知道這個三棱錐內、上整點的數目。
他覺得數量可能很多，所以答案需要對給定的 M 取模。

輸入描述:

輸入有 1 ≤ T ≤ 10

⁵

組數據。
每組數據中，輸入兩個整數 0 ≤ K ≤ 10

⁹

+ 7, 1 ≤ M ≤ 10

⁹

+ 7，意義如題目描述。

輸出描述:

對於每組數據，輸出一個整數，為三棱錐內、上整點的數目對 M 取模。

輸入

4
0 60
1 60
29 60
29 100007

輸出

1
4
40
4960

題意 ： 詢問在三棱錐內上的整點個數。
思路分析 ： 兩種方法
在計算除法取模的時候，如果除數不是素數，則不能用快速冪取求逆元解決這個問題，因此這里要借助一個除法取模的性質， (a/b)%m = (a % (b*m))/b
 
1 、 將三棱錐截成一個平面一個平面的三角形，然后計算每個平面內整點的數量，最后一個邊長的累加就可以計算出來，推得的公式是 

代碼示例 ：

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    int t;
    ll n, m;
    
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> n >> m;
        ll x = ((n+1)*(n)/2)%(3*m); 
        x = x*(n+5)%(3*m);
        printf("%lld\n", (x/3+(n+1)%m)%m);     
    }
    return 0;
}

方法二 ： 隔板法

　　由題意可知 x + y + z <= k , 那么我們可以加一個 d ，將其變成 x + y + z + d = k，其中 x , y , z , d 均可以為 0 ，那么這個問題不久變成了很經典的隔板法問題了嗎，在 4 個桶里都先放入一個物品，所以答案是 C(n+k-1, n-1) , 即 C(n+k-1, 3)

代碼示例 ：

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll k,m;
        scanf("%lld%lld",&k,&m);
        ll res=(k+3)*(k+2)/2%(3*m);
        res=res*(k+1)%(3*m);
        printf("%lld\n",res/3);
    }
    return 0;
}